三角学示例

sin (165) = sin (135) cos (30) + cos (135) sin (30)

$\sin (165) = \sin (135) \cos (30) + \cos (135) \sin (30)$

解题步骤 1

sin (165)

$\sin (165)$ 的准确值为

\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

sin (15) = sin (135) cos (30) + cos (135) sin (30)

$\sin (15) = \sin (135) \cos (30) + \cos (135) \sin (30)$

解题步骤 1.2

将

15

$15$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

sin (45 - 30) = sin (135) cos (30) + cos (135) sin (30)

$\sin (45 - 30) = \sin (135) \cos (30) + \cos (135) \sin (30)$

解题步骤 1.3

将被减数和减数分开。

sin (45 - (30)) = sin (135) cos (30) + cos (135) sin (30)

$\sin (45 - (30)) = \sin (135) \cos (30) + \cos (135) \sin (30)$

解题步骤 1.4

应用角度恒等式的差。

sin (45) cos (30) - cos (45) sin (30) = sin (135) cos (30) + cos (135) sin (30)

$\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30) = \sin (135) \cos (30) + \cos (135) \sin (30)$

解题步骤 1.5

sin (45)

$\sin (45)$ 的准确值为

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

\frac{\sqrt{2}}{2} cos (30) - cos (45) sin (30) = sin (135) cos (30) + cos (135) sin (30)

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30) = \sin (135) \cos (30) + \cos (135) \sin (30)$

解题步骤 1.6

cos (30)

$\cos (30)$ 的准确值为

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - cos (45) sin (30) = sin (135) cos (30) + cos (135) sin (30)

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30) = \sin (135) \cos (30) + \cos (135) \sin (30)$

解题步骤 1.7

cos (45)

$\cos (45)$ 的准确值为

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} sin (30) = sin (135) cos (30) + cos (135) sin (30)

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30) = \sin (135) \cos (30) + \cos (135) \sin (30)$

解题步骤 1.8

sin (30)

$\sin (30)$ 的准确值为

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 。

\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = sin (135) cos (30) + cos (135) sin (30)

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \sin (135) \cos (30) + \cos (135) \sin (30)$

解题步骤 1.9

化简

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.9.1

化简每一项。

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解题步骤 1.9.1.1

乘以

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 1.9.1.1.1

将

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \sin (135) \cos (30) + \cos (135) \sin (30)$

解题步骤 1.9.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \sin (135) \cos (30) + \cos (135) \sin (30)$

解题步骤 1.9.1.1.3

将

$2$ 乘以

$3$ 。

$\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \sin (135) \cos (30) + \cos (135) \sin (30)$

解题步骤 1.9.1.1.4

将

$2$ 乘以

$2$ 。

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \sin (135) \cos (30) + \cos (135) \sin (30)$

解题步骤 1.9.1.2

乘以

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.9.1.2.1

将

$\frac{1}{2}$ 乘以

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \sin (135) \cos (30) + \cos (135) \sin (30)$

解题步骤 1.9.1.2.2

将

$2$ 乘以

$2$ 。

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \sin (135) \cos (30) + \cos (135) \sin (30)$

解题步骤 1.9.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \sin (135) \cos (30) + \cos (135) \sin (30)$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \sin (45) \cos (30) + \cos (135) \sin (30)$

解题步骤 2.2

$\sin (45)$ 的准确值为

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \cos (135) \sin (30)$

解题步骤 2.3

$\cos (30)$ 的准确值为

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (135) \sin (30)$

解题步骤 2.4

乘以

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 2.4.1

将

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \cos (135) \sin (30)$

解题步骤 2.4.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \cos (135) \sin (30)$

解题步骤 2.4.3

将

$2$ 乘以

$3$ 。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \cos (135) \sin (30)$

解题步骤 2.4.4

将

$2$ 乘以

$2$ 。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \cos (135) \sin (30)$

解题步骤 2.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \cos (45) \sin (30)$

解题步骤 2.6

$\cos (45)$ 的准确值为

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)$

解题步骤 2.7

$\sin (30)$ 的准确值为

$\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 2.8

乘以

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 2.8.1

将

$\frac{1}{2}$ 乘以

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.8.2

将

$2$ 乘以

$2$ 。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

解题步骤 3

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