三角学示例

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3} - 28 x^{2} + 50 x + 75$

解题步骤 1

重新组合项。

$f (x) = - 2 x^{3} + 50 x + x^{4} - 28 x^{2} + 75$

解题步骤 2

从 $- 2 x^{3} + 50 x$ 中分解出因数 $- 2 x$ 。

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解题步骤 2.1

从 $- 2 x^{3}$ 中分解出因数 $- 2 x$ 。

$f (x) = - 2 x \cdot x^{2} + 50 x + x^{4} - 28 x^{2} + 75$

解题步骤 2.2

从 $50 x$ 中分解出因数 $- 2 x$ 。

$f (x) = - 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot - 25 + x^{4} - 28 x^{2} + 75$

解题步骤 2.3

从 $- 2 x (x^{2}) - 2 x (- 25)$ 中分解出因数 $- 2 x$ 。

$f (x) = - 2 x (x^{2} - 25) + x^{4} - 28 x^{2} + 75$

解题步骤 3

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$f (x) = - 2 x (x^{2} - 5^{2}) + x^{4} - 28 x^{2} + 75$

解题步骤 4

因数。

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解题步骤 4.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 5$ 。

$f (x) = - 2 x ((x + 5) (x - 5)) + x^{4} - 28 x^{2} + 75$

解题步骤 4.2

去掉多余的括号。

$f (x) = - 2 x (x + 5) (x - 5) + x^{4} - 28 x^{2} + 75$

解题步骤 5

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$f (x) = - 2 x (x + 5) (x - 5) + {(x^{2})}^{2} - 28 x^{2} + 75$

解题步骤 6

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$f (x) = - 2 x (x + 5) (x - 5) + u^{2} - 28 u + 75$

解题步骤 7

使用 AC 法来对 $u^{2} - 28 u + 75$ 进行因式分解。

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解题步骤 7.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $75$ ，和为 $- 28$ 。

$- 25, - 3$

解题步骤 7.2

使用这些整数书写分数形式。

$f (x) = - 2 x (x + 5) (x - 5) + (u - 25) (u - 3)$

解题步骤 8

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f (x) = - 2 x (x + 5) (x - 5) + (x^{2} - 25) (x^{2} - 3)$

解题步骤 9

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$f (x) = - 2 x (x + 5) (x - 5) + (x^{2} - 5^{2}) (x^{2} - 3)$

解题步骤 10

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 5$ 。

$f (x) = - 2 x (x + 5) (x - 5) + (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 3)$

解题步骤 11

从 $- 2 x (x + 5) (x - 5) + (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 3)$ 中分解出因数 $(x + 5) (x - 5)$ 。

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解题步骤 11.1

从 $- 2 x (x + 5) (x - 5)$ 中分解出因数 $(x + 5) (x - 5)$ 。

$f (x) = (x + 5) (x - 5) (- 2 x) + (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 3)$

解题步骤 11.2

从 $(x + 5) (x - 5) (- 2 x) + (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 3)$ 中分解出因数 $(x + 5) (x - 5)$ 。

$f (x) = (x + 5) (x - 5) (- 2 x + x^{2} - 3)$

解题步骤 12

使 $u = x$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x$ 。

$f (x) = (x + 5) (x - 5) (- 2 u + u^{2} - 3)$

解题步骤 13

使用 AC 法来对 $- 2 u + u^{2} - 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 13.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 3$ ，和为 $- 2$ 。

$- 3, 1$

解题步骤 13.2

使用这些整数书写分数形式。

$f (x) = (x + 5) (x - 5) ((u - 3) (u + 1))$

解题步骤 14

因数。

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解题步骤 14.1

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f (x) = (x + 5) (x - 5) ((x - 3) (x + 1))$

解题步骤 14.2

去掉多余的括号。

$f (x) = (x + 5) (x - 5) (x - 3) (x + 1)$

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