三角学示例

$(\cos (x) + \sin (x)) (1 - \cos (x) \sin (x)) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

解题步骤 1

化简 $(\cos (x) + \sin (x)) (1 - \cos (x) \sin (x))$ 。

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解题步骤 1.1

使用 FOIL 方法展开 $(\cos (x) + \sin (x)) (1 - \cos (x) \sin (x))$ 。

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解题步骤 1.1.1

运用分配律。

$\cos (x) (1 - \cos (x) \sin (x)) + \sin (x) (1 - \cos (x) \sin (x)) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

解题步骤 1.1.2

运用分配律。

$\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x) \sin (x)) + \sin (x) (1 - \cos (x) \sin (x)) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

解题步骤 1.1.3

运用分配律。

$\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x) \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \cos (x) \sin (x)) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

解题步骤 1.2

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\cos (x) + \cos (x) (- \cos (x) \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \cos (x) \sin (x)) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

解题步骤 1.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\cos (x) - \cos (x) \cos (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \cos (x) \sin (x)) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

解题步骤 1.2.3

乘以 $- \cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x)) \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \cos (x) \sin (x)) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

解题步骤 1.2.3.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \cos (x) \sin (x)) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

解题步骤 1.2.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1} \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \cos (x) \sin (x)) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

解题步骤 1.2.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \cos (x) \sin (x)) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

解题步骤 1.2.4

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x) \sin (x)) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

解题步骤 1.2.5

使用乘法的交换性质重写。

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin (x) \cos (x) \sin (x) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

解题步骤 1.2.6

乘以 $- \sin (x) \cos (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos (x) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

解题步骤 1.2.6.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

解题步骤 1.2.6.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

解题步骤 1.2.6.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

解题步骤 2

化简 $\sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$ 。

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解题步骤 2.1

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = \sin (x)$ 和 $b = \cos (x)$ 。

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = (\sin (x) + \cos (x)) (\sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) + \cos^{2} (x))$

解题步骤 2.2

移动 $\cos^{2} (x)$ 。

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = (\sin (x) + \cos (x)) (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - \sin (x) \cos (x))$

解题步骤 2.3

使用勾股恒等式。

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = (\sin (x) + \cos (x)) (1 - \sin (x) \cos (x))$

解题步骤 2.4

使用 FOIL 方法展开 $(\sin (x) + \cos (x)) (1 - \sin (x) \cos (x))$ 。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) (1 - \sin (x) \cos (x)) + \cos (x) (1 - \sin (x) \cos (x))$

解题步骤 2.4.2

运用分配律。

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x) \cos (x)) + \cos (x) (1 - \sin (x) \cos (x))$

解题步骤 2.4.3

运用分配律。

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x) \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \sin (x) \cos (x))$

解题步骤 2.5

化简每一项。

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解题步骤 2.5.1

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x) \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \sin (x) \cos (x))$

解题步骤 2.5.2

使用乘法的交换性质重写。

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) - \sin (x) \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \sin (x) \cos (x))$

解题步骤 2.5.3

乘以 $- \sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 2.5.3.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \sin (x) \cos (x))$

解题步骤 2.5.3.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \sin (x) \cos (x))$

解题步骤 2.5.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \sin (x) \cos (x))$

解题步骤 2.5.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \sin (x) \cos (x))$

解题步骤 2.5.4

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x) \cos (x))$

解题步骤 2.5.5

使用乘法的交换性质重写。

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) - \cos (x) \sin (x) \cos (x)$

解题步骤 2.5.6

乘以 $- \cos (x) \sin (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 2.5.6.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x)) \sin (x)$

解题步骤 2.5.6.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) \sin (x)$

解题步骤 2.5.6.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1} \sin (x)$

解题步骤 2.5.6.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x)$

解题步骤 3

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$x \approx 0, - 0.1, 0.1, \frac{1}{5}, - 0.3, 0.3, - \frac{2}{5}$

解题步骤 4

三角学 示例

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