三角学示例

$\log_{6} (2 x - 1) + \log_{6} (4 x + 3) = 2$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\log_{6} ((2 x - 1) (4 x + 3)) = 2$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 x - 1) (4 x + 3)$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$\log_{6} (2 x (4 x + 3) - 1 (4 x + 3)) = 2$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$\log_{6} (2 x (4 x) + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x + 3)) = 2$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$\log_{6} (2 x (4 x) + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\log_{6} (2 \cdot (4 x \cdot x) + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

解题步骤 1.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$\log_{6} (2 \cdot (4 (x \cdot x)) + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

解题步骤 1.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\log_{6} (2 \cdot (4 x^{2}) + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

解题步骤 1.3.1.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\log_{6} (8 x^{2} + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

解题步骤 1.3.1.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\log_{6} (8 x^{2} + 6 x - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

解题步骤 1.3.1.5

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\log_{6} (8 x^{2} + 6 x - 4 x - 1 \cdot 3) = 2$

解题步骤 1.3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\log_{6} (8 x^{2} + 6 x - 4 x - 3) = 2$

解题步骤 1.3.2

从 $6 x$ 中减去 $4 x$ 。

$\log_{6} (8 x^{2} + 2 x - 3) = 2$

解题步骤 2

使用对数的定义将 $\log_{6} (8 x^{2} + 2 x - 3) = 2$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$6^{2} = 8 x^{2} + 2 x - 3$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $8 x^{2} + 2 x - 3 = 6^{2}$ 。

$8 x^{2} + 2 x - 3 = 6^{2}$

解题步骤 3.2

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$8 x^{2} + 2 x - 3 = 36$

解题步骤 3.3

将所有项移到等式左边并化简。

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解题步骤 3.3.1

从等式两边同时减去 $36$ 。

$8 x^{2} + 2 x - 3 - 36 = 0$

解题步骤 3.3.2

从 $- 3$ 中减去 $36$ 。

$8 x^{2} + 2 x - 39 = 0$

解题步骤 3.4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.5

将 $a = 8$ 、 $b = 2$ 和 $c = - 39$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (8 \cdot - 39)}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 3.6

化简。

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解题步骤 3.6.1

化简分子。

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解题步骤 3.6.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 8 \cdot - 39}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 3.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 8 \cdot - 39$ 。

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解题步骤 3.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $8$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 32 \cdot - 39}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 3.6.1.2.2

将 $- 32$ 乘以 $- 39$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 1248}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 3.6.1.3

将 $4$ 和 $1248$ 相加。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{1252}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 3.6.1.4

将 $1252$ 重写为 $2^{2} \cdot 313$ 。

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解题步骤 3.6.1.4.1

从 $1252$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (313)}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 3.6.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 313}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 3.6.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{313}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 3.6.2

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{313}}{16}$

解题步骤 3.6.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{313}}{16}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{313}}{8}$

解题步骤 3.7

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{1 - \sqrt{313}}{8}, - \frac{1 + \sqrt{313}}{8}$

解题步骤 4

排除不能使 $\log_{6} (2 x - 1) + \log_{6} (4 x + 3) = 2$ 成立的解。

$x = - \frac{1 - \sqrt{313}}{8}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = - \frac{1 - \sqrt{313}}{8}$

小数形式：

$x = 2.08647575 \dots$

三角学 示例

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