三角学 示例

x के लिये हल कीजिये csc(x)^2-csc(x)-2=0
解题步骤 1
对方程左边进行因式分解。
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解题步骤 1.1
使 。用 代入替换所有出现的
解题步骤 1.2
使用 AC 法来对 进行因式分解。
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解题步骤 1.2.1
思考一下 这种形式。找出一对整数,其积为 ,且和为 。在本例中,其积即为 ,和为
解题步骤 1.2.2
使用这些整数书写分数形式。
解题步骤 1.3
使用 替换所有出现的
解题步骤 2
如果等式左侧的任一因数等于 ,则整个表达式将等于
解题步骤 3
设为等于 并求解
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解题步骤 3.1
设为等于
解题步骤 3.2
求解
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解题步骤 3.2.1
在等式两边都加上
解题步骤 3.2.2
取等式两边的反余割以从余割中提出
解题步骤 3.2.3
化简右边。
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解题步骤 3.2.3.1
的准确值为
解题步骤 3.2.4
余割函数在第一和第二象限为正值。要求第二个解,应从 减去参考角以求第二象限中的解。
解题步骤 3.2.5
化简
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解题步骤 3.2.5.1
要将 写成带有公分母的分数,请乘以
解题步骤 3.2.5.2
合并分数。
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解题步骤 3.2.5.2.1
组合
解题步骤 3.2.5.2.2
在公分母上合并分子。
解题步骤 3.2.5.3
化简分子。
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解题步骤 3.2.5.3.1
移到 的左侧。
解题步骤 3.2.5.3.2
中减去
解题步骤 3.2.6
的周期。
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解题步骤 3.2.6.1
函数的周期可利用 进行计算。
解题步骤 3.2.6.2
使用周期公式中的 替换
解题步骤 3.2.6.3
绝对值就是一个数和零之间的距离。 之间的距离为
解题步骤 3.2.6.4
除以
解题步骤 3.2.7
函数的周期为 ,所以函数值在两个方向上每隔 弧度将重复出现。
,对于任意整数
,对于任意整数
,对于任意整数
解题步骤 4
设为等于 并求解
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解题步骤 4.1
设为等于
解题步骤 4.2
求解
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解题步骤 4.2.1
从等式两边同时减去
解题步骤 4.2.2
取等式两边的反余割以从余割中提出
解题步骤 4.2.3
化简右边。
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解题步骤 4.2.3.1
的准确值为
解题步骤 4.2.4
The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from , to find a reference angle. Next, add this reference angle to to find the solution in the third quadrant.
解题步骤 4.2.5
化简表达式以求第二个解。
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解题步骤 4.2.5.1
中减去
解题步骤 4.2.5.2
得出的角 是正角度,比 小,且与 共边。
解题步骤 4.2.6
的周期。
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解题步骤 4.2.6.1
函数的周期可利用 进行计算。
解题步骤 4.2.6.2
使用周期公式中的 替换
解题步骤 4.2.6.3
绝对值就是一个数和零之间的距离。 之间的距离为
解题步骤 4.2.6.4
除以
解题步骤 4.2.7
和每一个负角相加以得出正角。
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解题步骤 4.2.7.1
加到 以求正角。
解题步骤 4.2.7.2
要将 写成带有公分母的分数,请乘以
解题步骤 4.2.7.3
合并分数。
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解题步骤 4.2.7.3.1
组合
解题步骤 4.2.7.3.2
在公分母上合并分子。
解题步骤 4.2.7.4
化简分子。
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解题步骤 4.2.7.4.1
乘以
解题步骤 4.2.7.4.2
中减去
解题步骤 4.2.7.5
列出新角。
解题步骤 4.2.8
函数的周期为 ,所以函数值在两个方向上每隔 弧度将重复出现。
,对于任意整数
,对于任意整数
,对于任意整数
解题步骤 5
最终解为使 成立的所有值。
,对于任意整数
解题步骤 6
合并答案。
,对于任意整数