三角学示例

{csc}^{2} (x) - csc (x) - 2 = 0

$\csc^{2} (x) - \csc (x) - 2 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

使

$u = \csc (x)$ 。用

$u$ 代入替换所有出现的

$\csc (x)$ 。

$u^{2} - u - 2 = 0$

解题步骤 1.2

使用 AC 法来对

$u^{2} - u - 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1

思考一下

$x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为

$c$ ，且和为

$b$ 。在本例中，其积即为

$- 2$ ，和为

$- 1$ 。

$- 2, 1$

解题步骤 1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 2) (u + 1) = 0$

解题步骤 1.3

使用

$\csc (x)$ 替换所有出现的

$u$ 。

$(\csc (x) - 2) (\csc (x) + 1) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于

$0$ ，则整个表达式将等于

$0$ 。

$\csc (x) - 2 = 0$

$\csc (x) + 1 = 0$

解题步骤 3

将

$\csc (x) - 2$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 3.1

将

$\csc (x) - 2$ 设为等于

$0$ 。

$\csc (x) - 2 = 0$

解题步骤 3.2

求解

$x$ 的

$\csc (x) - 2 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上

$2$ 。

$\csc (x) = 2$

解题步骤 3.2.2

取等式两边的反余割以从余割中提出

$x$ 。

$x = arccsc (2)$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

$arccsc (2)$ 的准确值为

$\frac{π}{6}$ 。

$x = \frac{π}{6}$

解题步骤 3.2.4

余割函数在第一和第二象限为正值。要求第二个解，应从

$π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - \frac{π}{6}$

解题步骤 3.2.5

化简

$π - \frac{π}{6}$ 。

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解题步骤 3.2.5.1

要将

$π$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{6}{6}$ 。

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 3.2.5.2

合并分数。

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解题步骤 3.2.5.2.1

组合

$π$ 和

$\frac{6}{6}$ 。

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 3.2.5.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 3.2.5.3

化简分子。

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解题步骤 3.2.5.3.1

将

$6$ 移到

$π$ 的左侧。

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

解题步骤 3.2.5.3.2

从

$6 π$ 中减去

$π$ 。

$x = \frac{5 π}{6}$

解题步骤 3.2.6

求

$\csc (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.2.6.1

函数的周期可利用

$\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.2.6.2

使用周期公式中的

$1$ 替换

$b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 3.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

$0$ 和

$1$ 之间的距离为

$1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.2.6.4

用

$2 π$ 除以

$1$ 。

$2 π$

解题步骤 3.2.7

$\csc (x)$ 函数的周期为

$2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔

$2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 4

将

$\csc (x) + 1$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 4.1

将

$\csc (x) + 1$ 设为等于

$0$ 。

$\csc (x) + 1 = 0$

解题步骤 4.2

求解

$x$ 的

$\csc (x) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去

$1$ 。

$\csc (x) = - 1$

解题步骤 4.2.2

取等式两边的反余割以从余割中提出

$x$ 。

$x = arccsc (- 1)$

解题步骤 4.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.3.1

$arccsc (- 1)$ 的准确值为

$- \frac{π}{2}$ 。

$x = - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.4

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from

$2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to

$π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

解题步骤 4.2.5

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 4.2.5.1

从

$2 π + \frac{π}{2} + π$ 中减去

$2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

解题步骤 4.2.5.2

得出的角

$\frac{3 π}{2}$ 是正角度，比

$2 π$ 小，且与

$2 π + \frac{π}{2} + π$ 共边。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 4.2.6

求

$\csc (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.6.1

函数的周期可利用

$\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.2.6.2

使用周期公式中的

$1$ 替换

$b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

$0$ 和

$1$ 之间的距离为

$1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 4.2.6.4

用

$2 π$ 除以

$1$ 。

$2 π$

解题步骤 4.2.7

将

$2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 4.2.7.1

将

$2 π$ 加到

$- \frac{π}{2}$ 以求正角。

$- \frac{π}{2} + 2 π$

解题步骤 4.2.7.2

要将

$2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{2}{2}$ 。

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.7.3

合并分数。

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解题步骤 4.2.7.3.1

组合

$2 π$ 和

$\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.7.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 4.2.7.4

化简分子。

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解题步骤 4.2.7.4.1

将

$2$ 乘以

$2$ 。

$\frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 4.2.7.4.2

从

$4 π$ 中减去

$π$ 。

$\frac{3 π}{2}$

解题步骤 4.2.7.5

列出新角。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 4.2.8

$\csc (x)$ 函数的周期为

$2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔

$2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 5

最终解为使

$(\csc (x) - 2) (\csc (x) + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 6

合并答案。

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ ，对于任意整数

$n$

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