三角学示例

$\csc^{2} (x) = {(- \frac{1}{5})}^{2} + 1$

解题步骤 1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\csc (x) = \pm \sqrt{{(- \frac{1}{5})}^{2} + 1}$

解题步骤 2

化简 $\pm \sqrt{{(- \frac{1}{5})}^{2} + 1}$ 。

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解题步骤 2.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.1.1

对 $- \frac{1}{5}$ 运用乘积法则。

$\csc (x) = \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{5})}^{2} + 1}$

解题步骤 2.1.2

对 $\frac{1}{5}$ 运用乘积法则。

$\csc (x) = \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{5^{2}} + 1}$

解题步骤 2.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\csc (x) = \pm \sqrt{1 \frac{1^{2}}{5^{2}} + 1}$

解题步骤 2.3

将 $\frac{1^{2}}{5^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\csc (x) = \pm \sqrt{\frac{1^{2}}{5^{2}} + 1}$

解题步骤 2.4

一的任意次幂都为一。

$\csc (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{5^{2}} + 1}$

解题步骤 2.5

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\csc (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{25} + 1}$

解题步骤 2.6

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\csc (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{25} + \frac{25}{25}}$

解题步骤 2.7

在公分母上合并分子。

$\csc (x) = \pm \sqrt{\frac{1 + 25}{25}}$

解题步骤 2.8

将 $1$ 和 $25$ 相加。

$\csc (x) = \pm \sqrt{\frac{26}{25}}$

解题步骤 2.9

将 $\sqrt{\frac{26}{25}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{25}}$ 。

$\csc (x) = \pm \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{25}}$

解题步骤 2.10

化简分母。

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解题步骤 2.10.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\csc (x) = \pm \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{5^{2}}}$

解题步骤 2.10.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\csc (x) = \pm \frac{\sqrt{26}}{5}$

解题步骤 3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\csc (x) = \frac{\sqrt{26}}{5}$

解题步骤 3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\csc (x) = - \frac{\sqrt{26}}{5}$

解题步骤 3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\csc (x) = \frac{\sqrt{26}}{5}, - \frac{\sqrt{26}}{5}$

解题步骤 4

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\csc (x) = \frac{\sqrt{26}}{5}$

$\csc (x) = - \frac{\sqrt{26}}{5}$

解题步骤 5

在 $\csc (x) = \frac{\sqrt{26}}{5}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

取等式两边的反余割以从余割中提出 $x$ 。

$x = arccsc (\frac{\sqrt{26}}{5})$

解题步骤 5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.1

计算 $arccsc (\frac{\sqrt{26}}{5})$ 。

$x = 1.37340076$

解题步骤 5.3

余割函数在第一和第二象限为正值。要求第二个解，应从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = (3.14159265) - 1.37340076$

解题步骤 5.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1

去掉圆括号。

$x = 3.14159265 - 1.37340076$

解题步骤 5.4.2

去掉圆括号。

$x = (3.14159265) - 1.37340076$

解题步骤 5.4.3

从 $3.14159265$ 中减去 $1.37340076$ 。

$x = 1.76819188$

解题步骤 5.5

求 $\csc (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 5.6

$\csc (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 1.37340076 + 2 π n, 1.76819188 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

在 $\csc (x) = - \frac{\sqrt{26}}{5}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

取等式两边的反余割以从余割中提出 $x$ 。

$x = arccsc (- \frac{\sqrt{26}}{5})$

解题步骤 6.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.1

计算 $arccsc (- \frac{\sqrt{26}}{5})$ 。

$x = - 1.37340076$

解题步骤 6.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 (3.14159265) + 1.37340076 + 3.14159265$

解题步骤 6.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 6.4.1

从 $2 (3.14159265) + 1.37340076 + 3.14159265$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 (3.14159265) + 1.37340076 + 3.14159265 - 2 π$

解题步骤 6.4.2

得出的角 $4.51499342$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 (3.14159265) + 1.37340076 + 3.14159265$ 共边。

$x = 4.51499342$

解题步骤 6.5

求 $\csc (x)$ 的周期。

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解题步骤 6.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 6.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 6.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 6.6

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 6.6.1

将 $2 π$ 加到 $- 1.37340076$ 以求正角。

$- 1.37340076 + 2 π$

解题步骤 6.6.2

从 $2 π$ 中减去 $1.37340076$ 。

$4.90978454$

解题步骤 6.6.3

列出新角。

$x = 4.90978454$

解题步骤 6.7

$\csc (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 4.51499342 + 2 π n, 4.90978454 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

列出所有解。

$x = 1.37340076 + 2 π n, 1.76819188 + 2 π n, 4.51499342 + 2 π n, 4.90978454 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

合并解集。

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解题步骤 8.1

将 $1.37340076 + 2 π n$ 和 $4.51499342 + 2 π n$ 合并为 $1.37340076 + π n$ 。

$x = 1.37340076 + π n, 1.76819188 + 2 π n, 4.90978454 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8.2

将 $1.76819188 + 2 π n$ 和 $4.90978454 + 2 π n$ 合并为 $1.76819188 + π n$ 。

$x = 1.37340076 + π n, 1.76819188 + π n$ ，对于任意整数 $n$

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