三角学示例

$\cot^{4} (x) - 4 \cot^{2} (x) + 3 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

将 $\cot^{4} (x)$ 重写为 ${(\cot^{2} (x))}^{2}$ 。

${(\cot^{2} (x))}^{2} - 4 \cot^{2} (x) + 3 = 0$

解题步骤 1.2

使 $u = \cot^{2} (x)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $\cot^{2} (x)$ 。

$u^{2} - 4 u + 3 = 0$

解题步骤 1.3

使用 AC 法来对 $u^{2} - 4 u + 3$ 进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $3$ ，和为 $- 4$ 。

$- 3, - 1$

解题步骤 1.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 3) (u - 1) = 0$

解题步骤 1.4

使用 $\cot^{2} (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(\cot^{2} (x) - 3) (\cot^{2} (x) - 1) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cot^{2} (x) - 3 = 0$

$\cot^{2} (x) - 1 = 0$

解题步骤 3

将 $\cot^{2} (x) - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 $\cot^{2} (x) - 3$ 设为等于 $0$ 。

$\cot^{2} (x) - 3 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $\cot^{2} (x) - 3 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$\cot^{2} (x) = 3$

解题步骤 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cot (x) = \pm \sqrt{3}$

解题步骤 3.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\cot (x) = \sqrt{3}$

解题步骤 3.2.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\cot (x) = - \sqrt{3}$

解题步骤 3.2.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\cot (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

解题步骤 3.2.4

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\cot (x) = \sqrt{3}$

$\cot (x) = - \sqrt{3}$

解题步骤 3.2.5

在 $\cot (x) = \sqrt{3}$ 中求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.5.1

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $x$ 。

$x = arccot (\sqrt{3})$

解题步骤 3.2.5.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.5.2.1

$arccot (\sqrt{3})$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$x = \frac{π}{6}$

解题步骤 3.2.5.3

余切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + \frac{π}{6}$

解题步骤 3.2.5.4

化简 $π + \frac{π}{6}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.5.4.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

解题步骤 3.2.5.4.2

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.5.4.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

解题步骤 3.2.5.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

解题步骤 3.2.5.4.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.5.4.3.1

将 $6$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

解题步骤 3.2.5.4.3.2

将 $6 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 3.2.5.5

求 $\cot (x)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.5.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 3.2.5.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 3.2.5.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 3.2.5.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 3.2.5.6

$\cot (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.2.6

在 $\cot (x) = - \sqrt{3}$ 中求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.6.1

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $x$ 。

$x = arccot (- \sqrt{3})$

解题步骤 3.2.6.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.6.2.1

$arccot (- \sqrt{3})$ 的准确值为 $\frac{5 π}{6}$ 。

$x = \frac{5 π}{6}$

解题步骤 3.2.6.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{5 π}{6} - π$

解题步骤 3.2.6.4

化简表达式以求第二个解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.6.4.1

将 $2 π$ 加上 $\frac{5 π}{6} - π$ 。

$x = \frac{5 π}{6} - π + 2 π$

解题步骤 3.2.6.4.2

得出的角 $\frac{11 π}{6}$ 是正角度且与 $\frac{5 π}{6} - π$ 共边。

$x = \frac{11 π}{6}$

解题步骤 3.2.6.5

求 $\cot (x)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.6.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 3.2.6.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 3.2.6.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 3.2.6.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 3.2.6.6

$\cot (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.2.7

列出所有解。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.2.8

合并解集。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.8.1

将 $\frac{π}{6} + π n$ 和 $\frac{7 π}{6} + π n$ 合并为 $\frac{π}{6} + π n$ 。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.2.8.2

将 $\frac{5 π}{6} + π n$ 和 $\frac{11 π}{6} + π n$ 合并为 $\frac{5 π}{6} + π n$ 。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

将 $\cot^{2} (x) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将 $\cot^{2} (x) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$\cot^{2} (x) - 1 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $\cot^{2} (x) - 1 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$\cot^{2} (x) = 1$

解题步骤 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cot (x) = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 4.2.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\cot (x) = \pm 1$

解题步骤 4.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\cot (x) = 1$

解题步骤 4.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\cot (x) = - 1$

解题步骤 4.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\cot (x) = 1, - 1$

解题步骤 4.2.5

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\cot (x) = 1$

$\cot (x) = - 1$

解题步骤 4.2.6

在 $\cot (x) = 1$ 中求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.6.1

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $x$ 。

$x = arccot (1)$

解题步骤 4.2.6.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.6.2.1

$arccot (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 4.2.6.3

余切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + \frac{π}{4}$

解题步骤 4.2.6.4

化简 $π + \frac{π}{4}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.6.4.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 4.2.6.4.2

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.6.4.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 4.2.6.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

解题步骤 4.2.6.4.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.6.4.3.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

解题步骤 4.2.6.4.3.2

将 $4 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 4.2.6.5

求 $\cot (x)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.6.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 4.2.6.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.6.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 4.2.6.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 4.2.6.6

$\cot (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4.2.7

在 $\cot (x) = - 1$ 中求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.7.1

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $x$ 。

$x = arccot (- 1)$

解题步骤 4.2.7.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.7.2.1

$arccot (- 1)$ 的准确值为 $\frac{3 π}{4}$ 。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 4.2.7.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

解题步骤 4.2.7.4

化简表达式以求第二个解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.7.4.1

将 $2 π$ 加上 $\frac{3 π}{4} - π$ 。

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

解题步骤 4.2.7.4.2

得出的角 $\frac{7 π}{4}$ 是正角度且与 $\frac{3 π}{4} - π$ 共边。

$x = \frac{7 π}{4}$

解题步骤 4.2.7.5

求 $\cot (x)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.7.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 4.2.7.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.7.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 4.2.7.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 4.2.7.6

$\cot (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4.2.8

列出所有解。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4.2.9

合并答案。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

最终解为使 $(\cot^{2} (x) - 3) (\cot^{2} (x) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

三角学示例