三角学示例

{cot}^{4} (x) - 4 {cot}^{2} (x) + 3 = 0

$\cot^{4} (x) - 4 \cot^{2} (x) + 3 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

将

$\cot^{4} (x)$ 重写为

${(\cot^{2} (x))}^{2}$ 。

${(\cot^{2} (x))}^{2} - 4 \cot^{2} (x) + 3 = 0$

解题步骤 1.2

使

$u = \cot^{2} (x)$ 。用

$u$ 代入替换所有出现的

$\cot^{2} (x)$ 。

$u^{2} - 4 u + 3 = 0$

解题步骤 1.3

使用 AC 法来对

$u^{2} - 4 u + 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.3.1

思考一下

$x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为

$c$ ，且和为

$b$ 。在本例中，其积即为

$3$ ，和为

$- 4$ 。

$- 3, - 1$

解题步骤 1.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 3) (u - 1) = 0$

解题步骤 1.4

使用

$\cot^{2} (x)$ 替换所有出现的

$u$ 。

$(\cot^{2} (x) - 3) (\cot^{2} (x) - 1) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于

$0$ ，则整个表达式将等于

$0$ 。

$\cot^{2} (x) - 3 = 0$

$\cot^{2} (x) - 1 = 0$

解题步骤 3

将

$\cot^{2} (x) - 3$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 3.1

将

$\cot^{2} (x) - 3$ 设为等于

$0$ 。

$\cot^{2} (x) - 3 = 0$

解题步骤 3.2

求解

$x$ 的

$\cot^{2} (x) - 3 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上

$3$ 。

$\cot^{2} (x) = 3$

解题步骤 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cot (x) = \pm \sqrt{3}$

解题步骤 3.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.2.3.1

首先，利用

$\pm$ 的正值求第一个解。

$\cot (x) = \sqrt{3}$

解题步骤 3.2.3.2

下一步，使用

$\pm$ 的负值来求第二个解。

$\cot (x) = - \sqrt{3}$

解题步骤 3.2.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\cot (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

解题步骤 3.2.4

建立每一个解以求解

$x$ 。

$\cot (x) = \sqrt{3}$

$\cot (x) = - \sqrt{3}$

解题步骤 3.2.5

在

$\cot (x) = \sqrt{3}$ 中求解

$x$ 。

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解题步骤 3.2.5.1

取方程两边的逆余切从而提取余切内的

$x$ 。

$x = arccot (\sqrt{3})$

解题步骤 3.2.5.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.5.2.1

$arccot (\sqrt{3})$ 的准确值为

$\frac{π}{6}$ 。

$x = \frac{π}{6}$

解题步骤 3.2.5.3

余切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自

$π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + \frac{π}{6}$

解题步骤 3.2.5.4

化简

$π + \frac{π}{6}$ 。

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解题步骤 3.2.5.4.1

要将

$π$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{6}{6}$ 。

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

解题步骤 3.2.5.4.2

合并分数。

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解题步骤 3.2.5.4.2.1

组合

$π$ 和

$\frac{6}{6}$ 。

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

解题步骤 3.2.5.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

解题步骤 3.2.5.4.3

化简分子。

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解题步骤 3.2.5.4.3.1

将

$6$ 移到

$π$ 的左侧。

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

解题步骤 3.2.5.4.3.2

将

$6 π$ 和

$π$ 相加。

$x = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 3.2.5.5

求

$\cot (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.2.5.5.1

函数的周期可利用

$\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 3.2.5.5.2

使用周期公式中的

$1$ 替换

$b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 3.2.5.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

$0$ 和

$1$ 之间的距离为

$1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 3.2.5.5.4

用

$π$ 除以

$1$ 。

$π$

解题步骤 3.2.5.6

$\cot (x)$ 函数的周期为

$π$ ，所以函数值在两个方向上每隔

$π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ ，对于任意整数

$n$

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 3.2.6

在

$\cot (x) = - \sqrt{3}$ 中求解

$x$ 。

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解题步骤 3.2.6.1

取方程两边的逆余切从而提取余切内的

$x$ 。

$x = arccot (- \sqrt{3})$

解题步骤 3.2.6.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.6.2.1

$arccot (- \sqrt{3})$ 的准确值为

$\frac{5 π}{6}$ 。

$x = \frac{5 π}{6}$

解题步骤 3.2.6.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from

$π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{5 π}{6} - π$

解题步骤 3.2.6.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 3.2.6.4.1

将

$2 π$ 加上

$\frac{5 π}{6} - π$ 。

$x = \frac{5 π}{6} - π + 2 π$

解题步骤 3.2.6.4.2

得出的角

$\frac{11 π}{6}$ 是正角度且与

$\frac{5 π}{6} - π$ 共边。

$x = \frac{11 π}{6}$

解题步骤 3.2.6.5

求

$\cot (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.2.6.5.1

函数的周期可利用

$\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 3.2.6.5.2

使用周期公式中的

$1$ 替换

$b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 3.2.6.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

$0$ 和

$1$ 之间的距离为

$1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 3.2.6.5.4

用

$π$ 除以

$1$ 。

$π$

解题步骤 3.2.6.6

$\cot (x)$ 函数的周期为

$π$ ，所以函数值在两个方向上每隔

$π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ ，对于任意整数

$n$

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 3.2.7

列出所有解。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 3.2.8

合并解集。

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解题步骤 3.2.8.1

将

$\frac{π}{6} + π n$ 和

$\frac{7 π}{6} + π n$ 合并为

$\frac{π}{6} + π n$ 。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 3.2.8.2

将

$\frac{5 π}{6} + π n$ 和

$\frac{11 π}{6} + π n$ 合并为

$\frac{5 π}{6} + π n$ 。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ ，对于任意整数

$n$

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ ，对于任意整数

$n$

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ ，对于任意整数

$n$

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 4

将

$\cot^{2} (x) - 1$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 4.1

将

$\cot^{2} (x) - 1$ 设为等于

$0$ 。

$\cot^{2} (x) - 1 = 0$

解题步骤 4.2

求解

$x$ 的

$\cot^{2} (x) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

在等式两边都加上

$1$ 。

$\cot^{2} (x) = 1$

解题步骤 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cot (x) = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 4.2.3

$1$ 的任意次方根都是

$1$ 。

$\cot (x) = \pm 1$

解题步骤 4.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.2.4.1

首先，利用

$\pm$ 的正值求第一个解。

$\cot (x) = 1$

解题步骤 4.2.4.2

下一步，使用

$\pm$ 的负值来求第二个解。

$\cot (x) = - 1$

解题步骤 4.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\cot (x) = 1, - 1$

解题步骤 4.2.5

建立每一个解以求解

$x$ 。

$\cot (x) = 1$

$\cot (x) = - 1$

解题步骤 4.2.6

在

$\cot (x) = 1$ 中求解

$x$ 。

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解题步骤 4.2.6.1

取方程两边的逆余切从而提取余切内的

$x$ 。

$x = arccot (1)$

解题步骤 4.2.6.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.6.2.1

$arccot (1)$ 的准确值为

$\frac{π}{4}$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 4.2.6.3

余切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自

$π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + \frac{π}{4}$

解题步骤 4.2.6.4

化简

$π + \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 4.2.6.4.1

要将

$π$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{4}{4}$ 。

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 4.2.6.4.2

合并分数。

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解题步骤 4.2.6.4.2.1

组合

$π$ 和

$\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 4.2.6.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

解题步骤 4.2.6.4.3

化简分子。

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解题步骤 4.2.6.4.3.1

将

$4$ 移到

$π$ 的左侧。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

解题步骤 4.2.6.4.3.2

将

$4 π$ 和

$π$ 相加。

$x = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 4.2.6.5

求

$\cot (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.6.5.1

函数的周期可利用

$\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 4.2.6.5.2

使用周期公式中的

$1$ 替换

$b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.6.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

$0$ 和

$1$ 之间的距离为

$1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 4.2.6.5.4

用

$π$ 除以

$1$ 。

$π$

解题步骤 4.2.6.6

$\cot (x)$ 函数的周期为

$π$ ，所以函数值在两个方向上每隔

$π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ，对于任意整数

$n$

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 4.2.7

在

$\cot (x) = - 1$ 中求解

$x$ 。

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解题步骤 4.2.7.1

取方程两边的逆余切从而提取余切内的

$x$ 。

$x = arccot (- 1)$

解题步骤 4.2.7.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.7.2.1

$arccot (- 1)$ 的准确值为

$\frac{3 π}{4}$ 。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 4.2.7.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from

$π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

解题步骤 4.2.7.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 4.2.7.4.1

将

$2 π$ 加上

$\frac{3 π}{4} - π$ 。

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

解题步骤 4.2.7.4.2

得出的角

$\frac{7 π}{4}$ 是正角度且与

$\frac{3 π}{4} - π$ 共边。

$x = \frac{7 π}{4}$

解题步骤 4.2.7.5

求

$\cot (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.7.5.1

函数的周期可利用

$\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 4.2.7.5.2

使用周期公式中的

$1$ 替换

$b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.7.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

$0$ 和

$1$ 之间的距离为

$1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 4.2.7.5.4

用

$π$ 除以

$1$ 。

$π$

解题步骤 4.2.7.6

$\cot (x)$ 函数的周期为

$π$ ，所以函数值在两个方向上每隔

$π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ ，对于任意整数

$n$

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 4.2.8

列出所有解。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 4.2.9

合并答案。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数

$n$

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数

$n$

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 5

最终解为使

$(\cot^{2} (x) - 3) (\cot^{2} (x) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数

$n$

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