三角学示例

$\cot^{2} (x) - 8 \cot (x) + 12 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

使 $u = \cot (x)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $\cot (x)$ 。

$u^{2} - 8 u + 12 = 0$

解题步骤 1.2

使用 AC 法来对 $u^{2} - 8 u + 12$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $12$ ，和为 $- 8$ 。

$- 6, - 2$

解题步骤 1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 6) (u - 2) = 0$

解题步骤 1.3

使用 $\cot (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(\cot (x) - 6) (\cot (x) - 2) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cot (x) - 6 = 0$

$\cot (x) - 2 = 0$

解题步骤 3

将 $\cot (x) - 6$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\cot (x) - 6$ 设为等于 $0$ 。

$\cot (x) - 6 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $\cot (x) - 6 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上 $6$ 。

$\cot (x) = 6$

解题步骤 3.2.2

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $x$ 。

$x = arccot (6)$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

计算 $arccot (6)$ 。

$x = 0.16514867$

解题步骤 3.2.4

余切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = (3.14159265) + 0.16514867$

解题步骤 3.2.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.5.1

去掉圆括号。

$x = 3.14159265 + 0.16514867$

解题步骤 3.2.5.2

去掉圆括号。

$x = (3.14159265) + 0.16514867$

解题步骤 3.2.5.3

将 $3.14159265$ 和 $0.16514867$ 相加。

$x = 3.30674133$

解题步骤 3.2.6

求 $\cot (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 3.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 3.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 3.2.6.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 3.2.7

$\cot (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = 0.16514867 + π n, 3.30674133 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

将 $\cot (x) - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\cot (x) - 2$ 设为等于 $0$ 。

$\cot (x) - 2 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $\cot (x) - 2 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$\cot (x) = 2$

解题步骤 4.2.2

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $x$ 。

$x = arccot (2)$

解题步骤 4.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.3.1

计算 $arccot (2)$ 。

$x = 0.4636476$

解题步骤 4.2.4

余切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

解题步骤 4.2.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.5.1

去掉圆括号。

$x = 3.14159265 + 0.4636476$

解题步骤 4.2.5.2

去掉圆括号。

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

解题步骤 4.2.5.3

将 $3.14159265$ 和 $0.4636476$ 相加。

$x = 3.60524026$

解题步骤 4.2.6

求 $\cot (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 4.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 4.2.6.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 4.2.7

$\cot (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

最终解为使 $(\cot (x) - 6) (\cot (x) - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0.16514867 + π n, 3.30674133 + π n, 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

合并答案。

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解题步骤 6.1

将 $0.16514867 + π n$ 和 $3.30674133 + π n$ 合并为 $0.16514867 + π n$ 。

$x = 0.16514867 + π n, 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6.2

将 $0.4636476 + π n$ 和 $3.60524026 + π n$ 合并为 $0.4636476 + π n$ 。

$x = 0.16514867 + π n, 0.4636476 + π n$ ，对于任意整数 $n$

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