三角学示例

$\cot^{2} (x) + 6 \cot (x) - 2 = 0$

解题步骤 1

代入 $u$ 替换 $\cot (x)$ 。

${(u)}^{2} + 6 (u) - 2 = 0$

解题步骤 2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3

将 $a = 1$ 、 $b = 6$ 和 $c = - 2$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 2$ 。

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.3

将 $36$ 和 $8$ 相加。

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{44}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.4

将 $44$ 重写为 $2^{2} \cdot 11$ 。

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解题步骤 4.1.4.1

从 $44$ 中分解出因数 $4$ 。

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (11)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.5

从根式下提出各项。

$u = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{11}}{2}$

解题步骤 4.3

化简 $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{11}}{2}$ 。

$u = - 3 \pm \sqrt{11}$

解题步骤 5

最终答案为两个解的组合。

$u = - 3 + \sqrt{11}, - 3 - \sqrt{11}$

解题步骤 6

代入 $\cot (x)$ 替换 $u$ 。

$\cot (x) = - 3 + \sqrt{11}, - 3 - \sqrt{11}$

解题步骤 7

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\cot (x) = - 3 + \sqrt{11}$

$\cot (x) = - 3 - \sqrt{11}$

解题步骤 8

在 $\cot (x) = - 3 + \sqrt{11}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 8.1

将等式的右边转换为等值的小数形式。

$\cot (x) = 0.31662479$

解题步骤 8.2

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $x$ 。

$x = arccot (0.31662479)$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

计算 $arccot (0.31662479)$ 。

$x = 1.26415806$

解题步骤 8.4

余切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = (3.14159265) + 1.26415806$

解题步骤 8.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 8.5.1

去掉圆括号。

$x = 3.14159265 + 1.26415806$

解题步骤 8.5.2

去掉圆括号。

$x = (3.14159265) + 1.26415806$

解题步骤 8.5.3

将 $3.14159265$ 和 $1.26415806$ 相加。

$x = 4.40575072$

解题步骤 8.6

求 $\cot (x)$ 的周期。

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解题步骤 8.6.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 8.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 8.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 8.6.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 8.7

$\cot (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = 1.26415806 + π n, 4.40575072 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

在 $\cot (x) = - 3 - \sqrt{11}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 9.1

将等式的右边转换为等值的小数形式。

$\cot (x) = - 6.31662479$

解题步骤 9.2

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $x$ 。

$x = arccot (- 6.31662479)$

解题步骤 9.3

化简右边。

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解题步骤 9.3.1

计算 $arccot (- 6.31662479)$ 。

$x = 2.9845833$

解题步骤 9.4

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2.9845833 - (3.14159265)$

解题步骤 9.5

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 9.5.1

将 $2 π$ 加上 $2.9845833 - (3.14159265)$ 。

$x = 2.9845833 - (3.14159265) + 2 π$

解题步骤 9.5.2

得出的角 $6.12617595$ 是正角度且与 $2.9845833 - (3.14159265)$ 共边。

$x = 6.12617595$

解题步骤 9.6

求 $\cot (x)$ 的周期。

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解题步骤 9.6.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 9.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 9.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 9.6.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 9.7

$\cot (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = 2.9845833 + π n, 6.12617595 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 10

列出所有解。

$x = 1.26415806 + π n, 4.40575072 + π n, 2.9845833 + π n, 6.12617595 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 11

合并解集。

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解题步骤 11.1

将 $1.26415806 + π n$ 和 $4.40575072 + π n$ 合并为 $1.26415806 + π n$ 。

$x = 1.26415806 + π n, 2.9845833 + π n, 6.12617595 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 11.2

将 $2.9845833 + π n$ 和 $6.12617595 + π n$ 合并为 $2.9845833 + π n$ 。

$x = 1.26415806 + π n, 2.9845833 + π n$ ，对于任意整数 $n$

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