三角学示例

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x) + 1}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

化简 $\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$ 。

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解题步骤 1.1.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} = \frac{\cos (x) + 1}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 1.1.2

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x) + 1}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 2

化简右边。

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解题步骤 2.1

化简 $\frac{\cos (x) + 1}{\tan^{2} (x)}$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简分母。

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解题步骤 2.1.1.1

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x) + 1}{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.2

对 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x) + 1}{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

解题步骤 2.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = (\cos (x) + 1) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 2.1.3

运用分配律。

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \cos (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 2.1.4

乘以 $\cos (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ 。

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解题步骤 2.1.4.1

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ 。

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x) \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 2.1.4.2

通过指数相加将 $\cos (x)$ 乘以 $\cos^{2} (x)$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.1

将 $\cos (x)$ 乘以 $\cos^{2} (x)$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.1.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos^{1} (x) \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 2.1.4.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{{\cos (x)}^{1 + 2}}{\sin^{2} (x)} + 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 2.1.4.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} + 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 2.1.5

将 $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 2.1.6

化简每一项。

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解题步骤 2.1.6.1

从 $\cos^{3} (x)$ 中分解出因数 $\cos^{2} (x)$ 。

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos^{2} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 2.1.6.2

乘以 $1$ 。

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos^{2} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x) \cdot 1} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 2.1.6.3

分离分数。

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 2.1.6.4

将 $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ 转换成 $\cot^{2} (x)$ 。

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x)}{1} \cot^{2} (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 2.1.6.5

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \cos (x) \cot^{2} (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 2.1.6.6

将 $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ 转换成 $\cot^{2} (x)$ 。

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \cos (x) \cot^{2} (x) + \cot^{2} (x)$

解题步骤 3

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$\cos (x) \cot^{2} (x) + \cot^{2} (x) = \frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$

解题步骤 4

使用基于 $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ 恒等式的 $\csc^{2} (x) - 1$ 替换 $\cot^{2} (x)$ 。

$(\csc^{2} (x) - 1) + \cot^{2} (x) = \frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$

解题步骤 5

重新排列多项式。

$\csc^{2} (x) + \cot^{2} (x) - 1 = \frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$

解题步骤 6

化简 $\csc^{2} (x) + \cot^{2} (x) - 1$ 。

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解题步骤 6.1

移动 $- 1$ 。

$\csc^{2} (x) - 1 + \cot^{2} (x) = \frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$

解题步骤 6.2

使用勾股恒等式。

$\cot^{2} (x) + \cot^{2} (x) = \frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$

解题步骤 6.3

将 $\cot^{2} (x)$ 和 $\cot^{2} (x)$ 相加。

$2 \cot^{2} (x) = \frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$

解题步骤 7

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = 2 \cot^{2} (x)$

解题步骤 8

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 8.1

从等式两边同时减去 $2 \cot^{2} (x)$ 。

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} - 2 \cot^{2} (x) = 0$

解题步骤 8.2

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} - 2 \cot^{2} (x) = 0$

解题步骤 8.2.2

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} - 2 {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} = 0$

解题步骤 8.2.3

对 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} - 2 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 8.2.4

组合 $- 2$ 和 $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ 。

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} + \frac{- 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 8.2.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} - \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 8.3

要将 $\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ 。

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 8.4

要将 $- \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{\frac{1}{\cos (x)} - 1}$ 。

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} = 0$

解题步骤 8.5

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(\frac{1}{\cos (x)} - 1) \sin^{2} (x)$ 的形式。

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解题步骤 8.5.1

将 $\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1}$ 乘以 $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ 。

$\frac{\cos (x) \sin^{2} (x)}{(\frac{1}{\cos (x)} - 1) \sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} = 0$

解题步骤 8.5.2

将 $\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ 乘以 $\frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{\frac{1}{\cos (x)} - 1}$ 。

$\frac{\cos (x) \sin^{2} (x)}{(\frac{1}{\cos (x)} - 1) \sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

解题步骤 8.5.3

重新排序 $(\frac{1}{\cos (x)} - 1) \sin^{2} (x)$ 的因式。

$\frac{\cos (x) \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} - \frac{2 \cos^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

解题步骤 8.6

在公分母上合并分子。

$\frac{\cos (x) \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

解题步骤 8.7

化简分子。

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解题步骤 8.7.1

从 $\cos (x) \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 8.7.1.1

从 $\cos (x) \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x)) - 2 \cos^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

解题步骤 8.7.1.2

从 $- 2 \cos^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x)) + \cos (x) (- 2 \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1))}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

解题步骤 8.7.1.3

从 $\cos (x) (\sin^{2} (x)) + \cos (x) (- 2 \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1))$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1))}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

解题步骤 8.7.2

运用分配律。

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} - 2 \cos (x) \cdot - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

解题步骤 8.7.3

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 8.7.3.1

从 $- 2 \cos (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) + \cos (x) \cdot - 2 \frac{1}{\cos (x)} - 2 \cos (x) \cdot - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

解题步骤 8.7.3.2

约去公因数。

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) + \cos (x) \cdot - 2 \frac{1}{\cos (x)} - 2 \cos (x) \cdot - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

解题步骤 8.7.3.3

重写表达式。

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) - 2 - 2 \cos (x) \cdot - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

解题步骤 8.7.4

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x))}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

解题步骤 8.8

从 $\sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x))}{\sin (x) \sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

解题步骤 8.9

分离分数。

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

解题步骤 8.10

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} \cot (x) = 0$

解题步骤 8.11

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (\sec (x) - 1)} \cot (x) = 0$

解题步骤 8.12

组合 $\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (\sec (x) - 1)}$ 和 $\cot (x)$ 。

$\frac{(\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)) \cot (x)}{\sin (x) (\sec (x) - 1)} = 0$

解题步骤 8.13

分离分数。

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1} \cdot \frac{\cot (x)}{\sin (x)} = 0$

解题步骤 8.14

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1} \cdot \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sin (x)} = 0$

解题步骤 8.15

将 $\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sin (x)}$ 重写为乘积形式。

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}) = 0$

解题步骤 8.16

化简。

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解题步骤 8.16.1

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1} (\cot (x) \frac{1}{\sin (x)}) = 0$

解题步骤 8.16.2

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1} (\cot (x) \csc (x)) = 0$

解题步骤 8.17

乘以 $\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1} (\cot (x) \csc (x))$ 。

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解题步骤 8.17.1

组合 $\cot (x)$ 和 $\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1}$ 。

$\frac{\cot (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x))}{\sec (x) - 1} \csc (x) = 0$

解题步骤 8.17.2

组合 $\frac{\cot (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x))}{\sec (x) - 1}$ 和 $\csc (x)$ 。

$\frac{\cot (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)) \csc (x)}{\sec (x) - 1} = 0$

解题步骤 8.18

将 $\frac{\cot (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)) \csc (x)}{\sec (x) - 1}$ 中的因式重新排序。

$\frac{\cot (x) \csc (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x))}{\sec (x) - 1} = 0$

解题步骤 9

将分子设为等于零。

$\cot (x) \csc (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)) = 0$

解题步骤 10

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 10.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cot (x) = 0$

$\csc (x) = 0$

$\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x) = 0$

解题步骤 10.2

将 $\cot (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 10.2.1

将 $\cot (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\cot (x) = 0$

解题步骤 10.2.2

求解 $x$ 的 $\cot (x) = 0$ 。

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解题步骤 10.2.2.1

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $x$ 。

$x = arccot (0)$

解题步骤 10.2.2.2

化简右边。

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解题步骤 10.2.2.2.1

$arccot (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 10.2.2.3

余切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + \frac{π}{2}$

解题步骤 10.2.2.4

化简 $π + \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 10.2.2.4.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 10.2.2.4.2

合并分数。

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解题步骤 10.2.2.4.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 10.2.2.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

解题步骤 10.2.2.4.3

化简分子。

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解题步骤 10.2.2.4.3.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

解题步骤 10.2.2.4.3.2

将 $2 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 10.2.2.5

求 $\cot (x)$ 的周期。

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解题步骤 10.2.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 10.2.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 10.2.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 10.2.2.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 10.2.2.6

$\cot (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 10.3

将 $\csc (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 10.3.1

将 $\csc (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\csc (x) = 0$

解题步骤 10.3.2

余割函数值域为 $y \leq - 1$ 和 $y \geq 1$ 。由于 $0$ 不在该范围内，所以无解。

无解

解题步骤 10.4

将 $\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 10.4.1

将 $\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x) = 0$

解题步骤 10.4.2

求解 $x$ 的 $\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 10.4.2.1

使用 $1 - \cos^{2} (x)$ 替换 $\sin^{2} (x)$ 。

$(1 - \cos^{2} (x)) - 2 + 2 \cos (x) = 0$

解题步骤 10.4.2.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 10.4.2.2.1

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- 1 - \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) = 0$

解题步骤 10.4.2.2.2

分组因式分解。

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解题步骤 10.4.2.2.2.1

重新排序项。

$- \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 10.4.2.2.2.2

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ 并且它们的和为 $b = 2$ 。

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解题步骤 10.4.2.2.2.2.1

从 $2 \cos (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 10.4.2.2.2.2.2

把 $2$ 重写为 $1$ 加 $1$

$- \cos^{2} (x) + (1 + 1) \cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 10.4.2.2.2.2.3

运用分配律。

$- \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) + 1 \cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 10.4.2.2.2.2.4

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) + 1 \cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 10.4.2.2.2.2.5

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) + \cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 10.4.2.2.2.3

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 10.4.2.2.2.3.1

将首两项和最后两项分成两组。

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) + \cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 10.4.2.2.2.3.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\cos (x) (- \cos (x) + 1) - 1 (- \cos (x) + 1) = 0$

解题步骤 10.4.2.2.2.4

通过因式分解出最大公因数 $- \cos (x) + 1$ 来因式分解多项式。

$(- \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

解题步骤 10.4.2.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$- \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 10.4.2.2.4

将 $- \cos (x) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 10.4.2.2.4.1

将 $- \cos (x) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$- \cos (x) + 1 = 0$

解题步骤 10.4.2.2.4.2

求解 $x$ 的 $- \cos (x) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 10.4.2.2.4.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \cos (x) = - 1$

解题步骤 10.4.2.2.4.2.2

将 $- \cos (x) = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 10.4.2.2.4.2.2.1

将 $- \cos (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 10.4.2.2.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 10.4.2.2.4.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 10.4.2.2.4.2.2.2.2

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 10.4.2.2.4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 10.4.2.2.4.2.2.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$\cos (x) = 1$

解题步骤 10.4.2.2.4.2.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (1)$

解题步骤 10.4.2.2.4.2.4

化简右边。

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解题步骤 10.4.2.2.4.2.4.1

$\arccos (1)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 10.4.2.2.4.2.5

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - 0$

解题步骤 10.4.2.2.4.2.6

从 $2 π$ 中减去 $0$ 。

$x = 2 π$

解题步骤 10.4.2.2.4.2.7

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 10.4.2.2.4.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 10.4.2.2.4.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 10.4.2.2.4.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 10.4.2.2.4.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 10.4.2.2.4.2.8

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 10.4.2.2.5

最终解为使 $(- \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 10.5

最终解为使 $\cot (x) \csc (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 11

合并答案。

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解题步骤 11.1

将 $\frac{π}{2} + π n$ 和 $\frac{3 π}{2} + π n$ 合并为 $\frac{π}{2} + π n$ 。

$x = \frac{π}{2} + π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 11.2

将 $2 π n$ 和 $2 π + 2 π n$ 合并为 $2 π n$ 。

$x = \frac{π}{2} + π n, 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 12

排除不能使 $\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x) + 1}{\tan^{2} (x)}$ 成立的解。

$x = \frac{π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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