三角学示例

$4^{2 x} - 63 \cdot 4^{x} - 64 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

将 $4^{2 x}$ 重写为 ${(4^{x})}^{2}$ 。

${(4^{x})}^{2} - 63 \cdot 4^{x} - 64 = 0$

解题步骤 1.2

使 $u = 4^{x}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $4^{x}$ 。

$u^{2} - 63 u - 64 = 0$

解题步骤 1.3

使用 AC 法来对 $u^{2} - 63 u - 64$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 64$ ，和为 $- 63$ 。

$- 64, 1$

解题步骤 1.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 64) (u + 1) = 0$

$(u - 64) (u + 1) = 0$

解题步骤 1.4

使用 $4^{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(4^{x} - 64) (4^{x} + 1) = 0$

$(4^{x} - 64) (4^{x} + 1) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$4^{x} - 64 = 0$

$4^{x} + 1 = 0$

解题步骤 3

将 $4^{x} - 64$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $4^{x} - 64$ 设为等于 $0$ 。

$4^{x} - 64 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $4^{x} - 64 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上 $64$ 。

$4^{x} = 64$

解题步骤 3.2.2

在方程中创建底数相同的对等表达式。

$4^{x} = 4^{3}$

解题步骤 3.2.3

因为底相同，所以两个表达式仅当指数也相等时才会相等。

$x = 3$

$x = 3$

$x = 3$

解题步骤 4

将 $4^{x} + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $4^{x} + 1$ 设为等于 $0$ 。

$4^{x} + 1 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $4^{x} + 1 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$4^{x} = - 1$

解题步骤 4.2.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (4^{x}) = \ln (- 1)$

解题步骤 4.2.3

因为 $\ln (- 1)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 4.2.4

$4^{x} = - 1$ 无解

无解

无解

无解

解题步骤 5

最终解为使 $(4^{x} - 64) (4^{x} + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 3$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$