三角学示例

$3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 6 \cos (x) + 9 \sin (x) \cos (x)$

解题步骤 1

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $6 \cos (x)$ 。

$3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) = 9 \sin (x) \cos (x)$

解题步骤 1.2

从等式两边同时减去 $9 \sin (x) \cos (x)$ 。

$3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

解题步骤 2

使用基于 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式的 $3 (1 - \cos^{2} (x))$ 替换 $3 \sin^{2} (x)$ 。

$3 (1 - \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

解题步骤 3

化简每一项。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$3 \cdot 1 + 3 (- \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

解题步骤 3.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 + 3 (- \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

解题步骤 3.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$3 - 3 \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

解题步骤 4

重新排列多项式。

$- 3 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) + 3 = 0$

解题步骤 5

化简左边。

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解题步骤 5.1

化简 $- 3 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) + 3$ 。

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解题步骤 5.1.1

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 5.1.1.1

移动 $3$ 。

$- 3 \cos^{2} (x) + 3 - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

解题步骤 5.1.1.2

将 $- 3 \cos^{2} (x)$ 和 $3$ 重新排序。

$3 - 3 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

解题步骤 5.1.1.3

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (1) - 3 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

解题步骤 5.1.1.4

从 $- 3 \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (1) + 3 (- \cos^{2} (x)) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

解题步骤 5.1.1.5

从 $3 (1) + 3 (- \cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (1 - \cos^{2} (x)) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

解题步骤 5.1.2

使用勾股恒等式。

$3 \sin^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

解题步骤 6

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 6.1

添加圆括号。

$3 \sin^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 (\sin (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) = 0$

解题步骤 6.2

使 $u = \cos (x)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $\cos (x)$ 。

$3 \sin^{2} (x) - 6 u - 9 u \sin (x) + 2 \sin (x) = 0$

解题步骤 6.3

重新排序项。

$- 9 u \sin (x) - 6 u + 3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

解题步骤 6.4

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 6.4.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(- 9 u \sin (x) - 6 u) + 3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

解题步骤 6.4.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$3 u (- 3 \sin (x) - 2) - \sin (x) (- 3 \sin (x) - 2) = 0$

解题步骤 6.5

通过因式分解出最大公因数 $- 3 \sin (x) - 2$ 来因式分解多项式。

$(- 3 \sin (x) - 2) (3 u - \sin (x)) = 0$

解题步骤 6.6

从 $- 3 \sin (x) - 2$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 6.6.1

从 $- 3 \sin (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$(- (3 \sin (x)) - 2) (3 u - \sin (x)) = 0$

解题步骤 6.6.2

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$(- (3 \sin (x)) - 1 \cdot 2) (3 u - \sin (x)) = 0$

解题步骤 6.6.3

从 $- (3 \sin (x)) - 1 (2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (3 \sin (x) + 2) (3 u - \sin (x)) = 0$

解题步骤 6.7

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- (3 \sin (x) + 2) (3 \cos (x) - \sin (x)) = 0$

解题步骤 7

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$3 \sin (x) + 2 = 0$

$3 \cos (x) - \sin (x) = 0$

解题步骤 8

将 $3 \sin (x) + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 8.1

将 $3 \sin (x) + 2$ 设为等于 $0$ 。

$3 \sin (x) + 2 = 0$

解题步骤 8.2

求解 $x$ 的 $3 \sin (x) + 2 = 0$ 。

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解题步骤 8.2.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$3 \sin (x) = - 2$

解题步骤 8.2.2

将 $3 \sin (x) = - 2$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 8.2.2.1

将 $3 \sin (x) = - 2$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{- 2}{3}$

解题步骤 8.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{- 2}{3}$

解题步骤 8.2.2.2.1.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) = \frac{- 2}{3}$

解题步骤 8.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 8.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\sin (x) = - \frac{2}{3}$

解题步骤 8.2.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- \frac{2}{3})$

解题步骤 8.2.4

化简右边。

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解题步骤 8.2.4.1

计算 $\arcsin (- \frac{2}{3})$ 。

$x = - 0.72972765$

解题步骤 8.2.5

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 (3.14159265) + 0.72972765 + 3.14159265$

解题步骤 8.2.6

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 8.2.6.1

从 $2 (3.14159265) + 0.72972765 + 3.14159265$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 (3.14159265) + 0.72972765 + 3.14159265 - 2 π$

解题步骤 8.2.6.2

得出的角 $3.8713203$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 (3.14159265) + 0.72972765 + 3.14159265$ 共边。

$x = 3.8713203$

解题步骤 8.2.7

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 8.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 8.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 8.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 8.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 8.2.8

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 8.2.8.1

将 $2 π$ 加到 $- 0.72972765$ 以求正角。

$- 0.72972765 + 2 π$

解题步骤 8.2.8.2

从 $2 π$ 中减去 $0.72972765$ 。

$5.55345765$

解题步骤 8.2.8.3

列出新角。

$x = 5.55345765$

解题步骤 8.2.9

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 3.8713203 + 2 π n, 5.55345765 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

将 $3 \cos (x) - \sin (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 9.1

将 $3 \cos (x) - \sin (x)$ 设为等于 $0$ 。

$3 \cos (x) - \sin (x) = 0$

解题步骤 9.2

求解 $x$ 的 $3 \cos (x) - \sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 9.2.1

将方程中的每一项都除以 $\cos (x)$ 。

$\frac{3 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 9.2.2

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.2.1

约去公因数。

$\frac{3 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 9.2.2.2

用 $3$ 除以 $1$ 。

$3 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 9.2.3

分离分数。

$3 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 9.2.4

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$3 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 9.2.5

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$3 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 9.2.6

分离分数。

$3 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 9.2.7

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$3 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

解题步骤 9.2.8

用 $0$ 除以 $1$ 。

$3 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

解题步骤 9.2.9

将 $0$ 乘以 $\sec (x)$ 。

$3 - \tan (x) = 0$

解题步骤 9.2.10

从等式两边同时减去 $3$ 。

$- \tan (x) = - 3$

解题步骤 9.2.11

将 $- \tan (x) = - 3$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 9.2.11.1

将 $- \tan (x) = - 3$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 9.2.11.2

化简左边。

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解题步骤 9.2.11.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 9.2.11.2.2

用 $\tan (x)$ 除以 $1$ 。

$\tan (x) = \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 9.2.11.3

化简右边。

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解题步骤 9.2.11.3.1

用 $- 3$ 除以 $- 1$ 。

$\tan (x) = 3$

解题步骤 9.2.12

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (3)$

解题步骤 9.2.13

化简右边。

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解题步骤 9.2.13.1

计算 $\arctan (3)$ 。

$x = 1.24904577$

解题步骤 9.2.14

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

解题步骤 9.2.15

求解 $x$ 。

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解题步骤 9.2.15.1

去掉圆括号。

$x = 3.14159265 + 1.24904577$

解题步骤 9.2.15.2

去掉圆括号。

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

解题步骤 9.2.15.3

将 $3.14159265$ 和 $1.24904577$ 相加。

$x = 4.39063842$

解题步骤 9.2.16

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 9.2.16.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 9.2.16.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 9.2.16.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 9.2.16.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 9.2.17

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = 1.24904577 + π n, 4.39063842 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 10

最终解为使 $- (3 \sin (x) + 2) (3 \cos (x) - \sin (x)) = 0$ 成立的所有值。

$x = 3.8713203 + 2 π n, 5.55345765 + 2 π n, 1.24904577 + π n, 4.39063842 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 11

将 $1.24904577 + π n$ 和 $4.39063842 + π n$ 合并为 $1.24904577 + π n$ 。

$x = 3.8713203 + 2 π n, 5.55345765 + 2 π n, 1.24904577 + π n$ ，对于任意整数 $n$

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