三角学示例

$17^{2} = {(22)}^{2} + {(25)}^{2} - 2 \cdot 22 \cdot 25 \cos (a)$

解题步骤 1

将方程重写为 $22^{2} + 25^{2} - 2 \cdot 22 \cdot (25 \cos (a)) = 17^{2}$ 。

$22^{2} + 25^{2} - 2 \cdot 22 \cdot (25 \cos (a)) = 17^{2}$

解题步骤 2

化简 $22^{2} + 25^{2} - 2 \cdot 22 \cdot (25 \cos (a))$ 。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

对 $22$ 进行 $2$ 次方运算。

$484 + 25^{2} - 2 \cdot 22 \cdot (25 \cos (a)) = 17^{2}$

解题步骤 2.1.2

对 $25$ 进行 $2$ 次方运算。

$484 + 625 - 2 \cdot 22 \cdot (25 \cos (a)) = 17^{2}$

解题步骤 2.1.3

将 $- 2$ 乘以 $22$ 。

$484 + 625 - 44 \cdot (25 \cos (a)) = 17^{2}$

解题步骤 2.1.4

将 $25$ 乘以 $- 44$ 。

$484 + 625 - 1100 \cos (a) = 17^{2}$

解题步骤 2.2

将 $484$ 和 $625$ 相加。

$1109 - 1100 \cos (a) = 17^{2}$

解题步骤 3

对 $17$ 进行 $2$ 次方运算。

$1109 - 1100 \cos (a) = 289$

解题步骤 4

将所有不包含 $\cos (a)$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.1

从等式两边同时减去 $1109$ 。

$- 1100 \cos (a) = 289 - 1109$

解题步骤 4.2

从 $289$ 中减去 $1109$ 。

$- 1100 \cos (a) = - 820$

解题步骤 5

将 $- 1100 \cos (a) = - 820$ 中的每一项除以 $- 1100$ 并化简。

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解题步骤 5.1

将 $- 1100 \cos (a) = - 820$ 中的每一项都除以 $- 1100$ 。

$\frac{- 1100 \cos (a)}{- 1100} = \frac{- 820}{- 1100}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

约去 $- 1100$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 1100 \cos (a)}{- 1100} = \frac{- 820}{- 1100}$

解题步骤 5.2.1.2

用 $\cos (a)$ 除以 $1$ 。

$\cos (a) = \frac{- 820}{- 1100}$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

约去 $- 820$ 和 $- 1100$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1.1

从 $- 820$ 中分解出因数 $- 20$ 。

$\cos (a) = \frac{- 20 (41)}{- 1100}$

解题步骤 5.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.1.2.1

从 $- 1100$ 中分解出因数 $- 20$ 。

$\cos (a) = \frac{- 20 \cdot 41}{- 20 \cdot 55}$

解题步骤 5.3.1.2.2

约去公因数。

$\cos (a) = \frac{- 20 \cdot 41}{- 20 \cdot 55}$

解题步骤 5.3.1.2.3

重写表达式。

$\cos (a) = \frac{41}{55}$

解题步骤 6

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $a$ 。

$a = \arccos (\frac{41}{55})$

解题步骤 7

化简右边。

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解题步骤 7.1

计算 $\arccos (\frac{41}{55})$ 。

$a = 0.72957981$

解题步骤 8

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$a = 2 (3.14159265) - 0.72957981$

解题步骤 9

化简 $2 (3.14159265) - 0.72957981$ 。

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解题步骤 9.1

将 $2$ 乘以 $3.14159265$ 。

$a = 6.2831853 - 0.72957981$

解题步骤 9.2

从 $6.2831853$ 中减去 $0.72957981$ 。

$a = 5.55360549$

解题步骤 10

求 $\cos (a)$ 的周期。

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解题步骤 10.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 10.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 10.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 10.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 11

$\cos (a)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$a = 0.72957981 + 2 π n, 5.55360549 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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