三角学示例

$\frac{1 + \tan (x)}{1 + \cot (x)} = \sec^{2} (x)$

解题步骤 1

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $\sec^{2} (x)$ 。

$\frac{1 + \tan (x)}{1 + \cot (x)} - \sec^{2} (x) = 0$

解题步骤 1.2

要将 $- \sec^{2} (x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + \cot (x)}{1 + \cot (x)}$ 。

$\frac{1 + \tan (x)}{1 + \cot (x)} - \sec^{2} (x) \cdot \frac{1 + \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

解题步骤 1.3

组合 $- \sec^{2} (x)$ 和 $\frac{1 + \cot (x)}{1 + \cot (x)}$ 。

$\frac{1 + \tan (x)}{1 + \cot (x)} + \frac{- \sec^{2} (x) (1 + \cot (x))}{1 + \cot (x)} = 0$

解题步骤 1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1 + \tan (x) - \sec^{2} (x) (1 + \cot (x))}{1 + \cot (x)} = 0$

解题步骤 1.5

化简分子。

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解题步骤 1.5.1

运用分配律。

$\frac{1 + \tan (x) - \sec^{2} (x) \cdot 1 - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

解题步骤 1.5.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + \tan (x) - \sec^{2} (x) - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

解题步骤 1.5.3

移动 $- \sec^{2} (x)$ 。

$\frac{1 - \sec^{2} (x) + \tan (x) - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

解题步骤 1.5.4

将 $1$ 和 $- \sec^{2} (x)$ 重新排序。

$\frac{- \sec^{2} (x) + 1 + \tan (x) - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

解题步骤 1.5.5

从 $- \sec^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sec^{2} (x)) + 1 + \tan (x) - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

解题步骤 1.5.6

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1 + \tan (x) - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

解题步骤 1.5.7

从 $- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sec^{2} (x) - 1) + \tan (x) - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

解题步骤 1.5.8

使用勾股恒等式。

$\frac{- \tan^{2} (x) + \tan (x) - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

解题步骤 1.6

从 $- \tan^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\tan^{2} (x)) + \tan (x) - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

解题步骤 1.7

从 $\tan (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\tan^{2} (x)) - 1 (- \tan (x)) - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

解题步骤 1.8

从 $- (\tan^{2} (x)) - 1 (- \tan (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\tan^{2} (x) - \tan (x)) - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

解题步骤 1.9

从 $- \sec^{2} (x) \cot (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\tan^{2} (x) - \tan (x)) - (\sec^{2} (x) \cot (x))}{1 + \cot (x)} = 0$

解题步骤 1.10

从 $- (\tan^{2} (x) - \tan (x)) - (\sec^{2} (x) \cot (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\tan^{2} (x) - \tan (x) + \sec^{2} (x) \cot (x))}{1 + \cot (x)} = 0$

解题步骤 1.11

将 $- (\tan^{2} (x) - \tan (x) + \sec^{2} (x) \cot (x))$ 重写为 $- 1 (\tan^{2} (x) - \tan (x) + \sec^{2} (x) \cot (x))$ 。

$\frac{- 1 (\tan^{2} (x) - \tan (x) + \sec^{2} (x) \cot (x))}{1 + \cot (x)} = 0$

解题步骤 1.12

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\tan^{2} (x) - \tan (x) + \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

解题步骤 2

将分子设为等于零。

$\tan^{2} (x) - \tan (x) + \sec^{2} (x) \cot (x) = 0$

解题步骤 3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 3.1

化简左边。

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解题步骤 3.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1.1

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - \tan (x) + \sec^{2} (x) \cot (x) = 0$

解题步骤 3.1.1.2

对 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \tan (x) + \sec^{2} (x) \cot (x) = 0$

解题步骤 3.1.1.3

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \cot (x) = 0$

解题步骤 3.1.1.4

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cot (x) = 0$

解题步骤 3.1.1.5

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cot (x) = 0$

解题步骤 3.1.1.6

一的任意次幂都为一。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cot (x) = 0$

解题步骤 3.1.1.7

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

解题步骤 3.1.1.8

合并。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1 \cos (x)}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = 0$

解题步骤 3.1.1.9

约去 $\cos (x)$ 和 $\cos^{2} (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1.9.1

从 $1 \cos (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x) \cdot 1}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = 0$

解题步骤 3.1.1.9.2

约去公因数。

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解题步骤 3.1.1.9.2.1

从 $\cos^{2} (x) \sin (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x) \cdot 1}{\cos (x) (\cos (x) \sin (x))} = 0$

解题步骤 3.1.1.9.2.2

约去公因数。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x) \cdot 1}{\cos (x) (\cos (x) \sin (x))} = 0$

解题步骤 3.1.1.9.2.3

重写表达式。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} = 0$

解题步骤 3.2

等式两边同时乘以 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) (\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1.1

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 3.4.1.2

约去公因数。

$\cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 3.4.1.3

重写表达式。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 3.4.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 3.4.3

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.3.1

从 $\cos (x) \sin (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) (\sin (x))} = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 3.4.3.2

约去公因数。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 3.4.3.3

重写表达式。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 3.5

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1

从 $- \cos (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 3.5.2

约去公因数。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 3.5.3

重写表达式。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \sin (x) + \frac{1}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 3.6

将 $\cos (x)$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \sin (x) + \frac{1}{\sin (x)} = 0$

解题步骤 3.7

等式两边同时乘以 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) (\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \sin (x) + \frac{1}{\sin (x)}) = \sin (x) \cdot 0$

解题步骤 3.8

运用分配律。

$\sin (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

解题步骤 3.9

化简。

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解题步骤 3.9.1

乘以 $\sin (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 3.9.1.1

组合 $\sin (x)$ 和 $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{\sin (x) \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

解题步骤 3.9.1.2

通过指数相加将 $\sin (x)$ 乘以 $\sin^{2} (x)$ 。

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解题步骤 3.9.1.2.1

将 $\sin (x)$ 乘以 $\sin^{2} (x)$ 。

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解题步骤 3.9.1.2.1.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

解题步骤 3.9.1.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 2}}{\cos (x)} + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

解题步骤 3.9.1.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

解题步骤 3.9.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} - \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

解题步骤 3.9.3

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.9.3.1

约去公因数。

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} - \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

解题步骤 3.9.3.2

重写表达式。

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} - \sin (x) \sin (x) + 1 = \sin (x) \cdot 0$

解题步骤 3.10

乘以 $- \sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 3.10.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} - (\sin^{1} (x) \sin (x)) + 1 = \sin (x) \cdot 0$

解题步骤 3.10.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + 1 = \sin (x) \cdot 0$

解题步骤 3.10.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} - {\sin (x)}^{1 + 1} + 1 = \sin (x) \cdot 0$

解题步骤 3.10.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} - \sin^{2} (x) + 1 = \sin (x) \cdot 0$

解题步骤 3.11

将 $- \sin^{2} (x)$ 和 $1$ 重新排序。

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} + 1 - \sin^{2} (x) = \sin (x) \cdot 0$

解题步骤 3.12

使用勾股恒等式。

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} + \cos^{2} (x) = \sin (x) \cdot 0$

解题步骤 3.13

将 $\sin (x)$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} + \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 3.14

使用 $1 - \sin^{2} (x)$ 替换 $\cos^{2} (x)$ 。

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x) (1 - \sin^{2} (x))} = 0$

解题步骤 3.15

将方程中的每一项都除以 $\cos (x)$ 。

$\frac{\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x) (1 - \sin^{2} (x))}}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 3.16

使用勾股恒等式。

$\frac{\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)}}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 3.17

分离分数。

$\frac{\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 3.18

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\frac{\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)}}{1} \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 3.19

用 $\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)}$ 除以 $1$ 。

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)} \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 3.20

通过指数相加将 $\cos (x)$ 乘以 $\cos^{2} (x)$ 。

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解题步骤 3.20.1

将 $\cos (x)$ 乘以 $\cos^{2} (x)$ 。

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解题步骤 3.20.1.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)} \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 3.20.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sin^{3} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 2}} \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 3.20.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 3.21

将 $\frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)}$ 转换成 $\tan^{3} (x)$ 。

$\tan^{3} (x) \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 3.22

分离分数。

$\tan^{3} (x) \sec (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 3.23

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\tan^{3} (x) \sec (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

解题步骤 3.24

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\tan^{3} (x) \sec (x) = 0 \sec (x)$

解题步骤 3.25

将 $0$ 乘以 $\sec (x)$ 。

$\tan^{3} (x) \sec (x) = 0$

解题步骤 3.26

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\tan^{3} (x) = 0$

$\sec (x) = 0$

解题步骤 3.27

将 $\tan^{3} (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.27.1

将 $\tan^{3} (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\tan^{3} (x) = 0$

解题步骤 3.27.2

求解 $x$ 的 $\tan^{3} (x) = 0$ 。

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解题步骤 3.27.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \sqrt[3]{0}$

解题步骤 3.27.2.2

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 3.27.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$\tan (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 3.27.2.2.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$\tan (x) = 0$

解题步骤 3.27.2.3

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (0)$

解题步骤 3.27.2.4

化简右边。

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解题步骤 3.27.2.4.1

$\arctan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.27.2.5

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + 0$

解题步骤 3.27.2.6

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$x = π$

解题步骤 3.27.2.7

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.27.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 3.27.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 3.27.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 3.27.2.7.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 3.27.2.8

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = π n, π + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.28

将 $\sec (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.28.1

将 $\sec (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\sec (x) = 0$

解题步骤 3.28.2

正割函数的值域为 $y \leq - 1$ 和 $y \geq 1$ 。因为 $0$ 不在该值域内，所以无解。

无解

解题步骤 3.29

最终解为使 $\tan^{3} (x) \sec (x) = 0$ 成立的所有值。

$x = π n, π + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

合并答案。

$x = π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

排除不能使 $\frac{1 + \tan (x)}{1 + \cot (x)} = \sec^{2} (x)$ 成立的解。

无解

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