三角学示例

$\frac{1}{\csc (x) + 1} + \frac{1}{\sin (x) + 1} = 1$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

化简 $\frac{1}{\csc (x) + 1} + \frac{1}{\sin (x) + 1}$ 。

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解题步骤 1.1.1

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1} + \frac{1}{\sin (x) + 1} = 1$

解题步骤 1.1.2

要将 $\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ 。

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1} \cdot \frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\sin (x) + 1} = 1$

解题步骤 1.1.3

要将 $\frac{1}{\sin (x) + 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1}$ 。

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1} \cdot \frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\sin (x) + 1} \cdot \frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1} = 1$

解题步骤 1.1.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\sin (x) + 1)$ 的形式。

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解题步骤 1.1.4.1

将 $\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1}$ 乘以 $\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ 。

$\frac{\sin (x) + 1}{(\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\sin (x) + 1)} + \frac{1}{\sin (x) + 1} \cdot \frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1} = 1$

解题步骤 1.1.4.2

将 $\frac{1}{\sin (x) + 1}$ 乘以 $\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1}$ 。

$\frac{\sin (x) + 1}{(\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\sin (x) + 1)} + \frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{(\sin (x) + 1) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)} = 1$

解题步骤 1.1.4.3

重新排序 $(\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\sin (x) + 1)$ 的因式。

$\frac{\sin (x) + 1}{(\sin (x) + 1) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)} + \frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{(\sin (x) + 1) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)} = 1$

解题步骤 1.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{\sin (x) + 1 + \frac{1}{\sin (x)} + 1}{(\sin (x) + 1) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)} = 1$

解题步骤 1.1.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sin (x) + 2 + \frac{1}{\sin (x)}}{(\sin (x) + 1) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)} = 1$

解题步骤 1.1.7

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$\frac{\sin (x) + 2 + \csc (x)}{(\sin (x) + 1) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)} = 1$

解题步骤 1.1.8

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$\frac{\sin (x) + 2 + \csc (x)}{(\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)} = 1$

解题步骤 2

两边同时乘以 $(\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)$ 。

$\frac{\sin (x) + 2 + \csc (x)}{(\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)} ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)) = 1 ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1))$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

化简左边。

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解题步骤 3.1.1

化简 $\frac{\sin (x) + 2 + \csc (x)}{(\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)} ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1))$ 。

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解题步骤 3.1.1.1

约去 $(\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{\sin (x) + 2 + \csc (x)}{(\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)} ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)) = 1 ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1))$

解题步骤 3.1.1.1.2

重写表达式。

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = 1 ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1))$

解题步骤 3.1.1.2

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\sin (x) + 2 + \frac{1}{\sin (x)} = 1 ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1))$

解题步骤 3.1.1.3

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = 1 ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1))$

解题步骤 3.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.1

化简 $1 ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1))$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

将 $(\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)$ 乘以 $1$ 。

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = (\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)$

解题步骤 3.2.1.2

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = (\sin (x) + 1) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)$

解题步骤 3.2.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(\sin (x) + 1) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)$ 。

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解题步骤 3.2.1.3.1

运用分配律。

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = \sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} + 1) + 1 (\frac{1}{\sin (x)} + 1)$

解题步骤 3.2.1.3.2

运用分配律。

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 1 (\frac{1}{\sin (x)} + 1)$

解题步骤 3.2.1.3.3

运用分配律。

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 1 \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot 1$

解题步骤 3.2.1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.2.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.4.1.1

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.4.1.1.1

约去公因数。

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 1 \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot 1$

解题步骤 3.2.1.4.1.1.2

重写表达式。

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = 1 + \sin (x) \cdot 1 + 1 \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot 1$

解题步骤 3.2.1.4.1.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = 1 + \sin (x) + 1 \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot 1$

解题步骤 3.2.1.4.1.3

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 乘以 $1$ 。

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = 1 + \sin (x) + \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot 1$

解题步骤 3.2.1.4.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = 1 + \sin (x) + \frac{1}{\sin (x)} + 1$

解题步骤 3.2.1.4.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = 2 + \sin (x) + \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 3.2.1.5

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = 2 + \sin (x) + \csc (x)$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 4.1.1

从等式两边同时减去 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) + 2 + \csc (x) - \sin (x) = 2 + \csc (x)$

解题步骤 4.1.2

从等式两边同时减去 $\csc (x)$ 。

$\sin (x) + 2 + \csc (x) - \sin (x) - \csc (x) = 2$

解题步骤 4.1.3

合并 $\sin (x) + 2 + \csc (x) - \sin (x) - \csc (x)$ 中相反的项。

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解题步骤 4.1.3.1

从 $\sin (x)$ 中减去 $\sin (x)$ 。

$0 + 2 + \csc (x) - \csc (x) = 2$

解题步骤 4.1.3.2

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$2 + \csc (x) - \csc (x) = 2$

解题步骤 4.1.3.3

从 $\csc (x)$ 中减去 $\csc (x)$ 。

$2 + 0 = 2$

解题步骤 4.1.3.4

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2 = 2$

解题步骤 4.2

因为 $2 = 2$ ，所以方程对于 $x$ 的所有值将恒成立。

所有实数

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

所有实数

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

三角学 示例

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