三角学示例

$\frac{1}{1 + \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)} = 2 \sec^{2} (x)$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

化简 $\frac{1}{1 + \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)}$ 。

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解题步骤 1.1.1

要将 $\frac{1}{1 + \sin (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ 。

$\frac{1}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)} = 2 \sec^{2} (x)$

解题步骤 1.1.2

要将 $\frac{1}{1 - \sin (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ 。

$\frac{1}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} = 2 \sec^{2} (x)$

解题步骤 1.1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ 的形式。

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解题步骤 1.1.3.1

将 $\frac{1}{1 + \sin (x)}$ 乘以 $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ 。

$\frac{1 - \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} + \frac{1}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} = 2 \sec^{2} (x)$

解题步骤 1.1.3.2

将 $\frac{1}{1 - \sin (x)}$ 乘以 $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ 。

$\frac{1 - \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} + \frac{1 + \sin (x)}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))} = 2 \sec^{2} (x)$

解题步骤 1.1.3.3

重新排序 $(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))$ 的因式。

$\frac{1 - \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} + \frac{1 + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = 2 \sec^{2} (x)$

解题步骤 1.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1 - \sin (x) + 1 + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = 2 \sec^{2} (x)$

解题步骤 1.1.5

化简分子。

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解题步骤 1.1.5.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 - \sin (x) + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = 2 \sec^{2} (x)$

解题步骤 1.1.5.2

将 $- \sin (x)$ 和 $\sin (x)$ 相加。

$\frac{2 + 0}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = 2 \sec^{2} (x)$

解题步骤 1.1.5.3

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = 2 \sec^{2} (x)$

解题步骤 2

两边同时乘以 $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ 。

$\frac{2}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) = 2 \sec^{2} (x) ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

化简左边。

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解题步骤 3.1.1

约去 $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{2}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) = 2 \sec^{2} (x) ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

解题步骤 3.1.1.2

重写表达式。

$2 = 2 \sec^{2} (x) ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

解题步骤 3.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.1

化简 $2 \sec^{2} (x) ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$2 = 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

解题步骤 3.2.1.2

合并分数。

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解题步骤 3.2.1.2.1

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$2 = 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

解题步骤 3.2.1.2.2

一的任意次幂都为一。

$2 = 2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

解题步骤 3.2.1.2.3

组合 $2$ 和 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 。

$2 = \frac{2}{\cos^{2} (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

解题步骤 3.2.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ 。

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解题步骤 3.2.1.3.1

运用分配律。

$2 = \frac{2}{\cos^{2} (x)} (1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)))$

解题步骤 3.2.1.3.2

运用分配律。

$2 = \frac{2}{\cos^{2} (x)} (1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)))$

解题步骤 3.2.1.3.3

运用分配律。

$2 = \frac{2}{\cos^{2} (x)} (1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 3.2.1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.2.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.4.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$2 = \frac{2}{\cos^{2} (x)} (1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 3.2.1.4.1.2

将 $- \sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$2 = \frac{2}{\cos^{2} (x)} (1 - \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 3.2.1.4.1.3

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$2 = \frac{2}{\cos^{2} (x)} (1 - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 3.2.1.4.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$2 = \frac{2}{\cos^{2} (x)} (1 - \sin (x) + \sin (x) - \sin (x) \sin (x))$

解题步骤 3.2.1.4.1.5

乘以 $- \sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 3.2.1.4.1.5.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 = \frac{2}{\cos^{2} (x)} (1 - \sin (x) + \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)))$

解题步骤 3.2.1.4.1.5.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 = \frac{2}{\cos^{2} (x)} (1 - \sin (x) + \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))$

解题步骤 3.2.1.4.1.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 = \frac{2}{\cos^{2} (x)} (1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

解题步骤 3.2.1.4.1.5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 = \frac{2}{\cos^{2} (x)} (1 - \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x))$

解题步骤 3.2.1.4.2

将 $- \sin (x)$ 和 $\sin (x)$ 相加。

$2 = \frac{2}{\cos^{2} (x)} (1 + 0 - \sin^{2} (x))$

解题步骤 3.2.1.4.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$2 = \frac{2}{\cos^{2} (x)} (1 - \sin^{2} (x))$

解题步骤 3.2.1.5

使用勾股恒等式。

$2 = \frac{2}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

解题步骤 3.2.1.6

约去 $\cos^{2} (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.6.1

约去公因数。

$2 = \frac{2}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

解题步骤 3.2.1.6.2

重写表达式。

$2 = 2$

解题步骤 4

因为 $2 = 2$ ，所以方程对于 $x$ 的所有值将恒成立。

所有实数

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

所有实数

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

三角学 示例

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