三角学示例

${(\frac{12}{13})}^{2} + \cos^{2} (x) = 1$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

对 $\frac{12}{13}$ 运用乘积法则。

$\frac{12^{2}}{13^{2}} + \cos^{2} (x) = 1$

解题步骤 1.2

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{144}{13^{2}} + \cos^{2} (x) = 1$

解题步骤 1.3

对 $13$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{144}{169} + \cos^{2} (x) = 1$

解题步骤 2

将所有不包含 $\cos (x)$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.1

从等式两边同时减去 $\frac{144}{169}$ 。

$\cos^{2} (x) = 1 - \frac{144}{169}$

解题步骤 2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\cos^{2} (x) = \frac{169}{169} - \frac{144}{169}$

解题步骤 2.3

在公分母上合并分子。

$\cos^{2} (x) = \frac{169 - 144}{169}$

解题步骤 2.4

从 $169$ 中减去 $144$ 。

$\cos^{2} (x) = \frac{25}{169}$

解题步骤 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{25}{169}}$

解题步骤 4

化简 $\pm \sqrt{\frac{25}{169}}$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\sqrt{\frac{25}{169}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{169}}$ 。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{169}}$

解题步骤 4.2

化简分子。

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解题步骤 4.2.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{169}}$

解题步骤 4.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\cos (x) = \pm \frac{5}{\sqrt{169}}$

解题步骤 4.3

化简分母。

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解题步骤 4.3.1

将 $169$ 重写为 $13^{2}$ 。

$\cos (x) = \pm \frac{5}{\sqrt{13^{2}}}$

解题步骤 4.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\cos (x) = \pm \frac{5}{13}$

解题步骤 5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\cos (x) = \frac{5}{13}$

解题步骤 5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\cos (x) = - \frac{5}{13}$

解题步骤 5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\cos (x) = \frac{5}{13}, - \frac{5}{13}$

解题步骤 6

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\cos (x) = \frac{5}{13}$

$\cos (x) = - \frac{5}{13}$

解题步骤 7

在 $\cos (x) = \frac{5}{13}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (\frac{5}{13})$

解题步骤 7.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.1

计算 $\arccos (\frac{5}{13})$ 。

$x = 1.1760052$

解题步骤 7.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 (3.14159265) - 1.1760052$

解题步骤 7.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.4.1

去掉圆括号。

$x = 2 (3.14159265) - 1.1760052$

解题步骤 7.4.2

化简 $2 (3.14159265) - 1.1760052$ 。

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解题步骤 7.4.2.1

将 $2$ 乘以 $3.14159265$ 。

$x = 6.2831853 - 1.1760052$

解题步骤 7.4.2.2

从 $6.2831853$ 中减去 $1.1760052$ 。

$x = 5.1071801$

解题步骤 7.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 7.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 7.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 7.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 7.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 7.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 1.1760052 + 2 π n, 5.1071801 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

在 $\cos (x) = - \frac{5}{13}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 8.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- \frac{5}{13})$

解题步骤 8.2

化简右边。

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解题步骤 8.2.1

计算 $\arccos (- \frac{5}{13})$ 。

$x = 1.96558744$

解题步骤 8.3

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 (3.14159265) - 1.96558744$

解题步骤 8.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 8.4.1

去掉圆括号。

$x = 2 (3.14159265) - 1.96558744$

解题步骤 8.4.2

化简 $2 (3.14159265) - 1.96558744$ 。

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解题步骤 8.4.2.1

将 $2$ 乘以 $3.14159265$ 。

$x = 6.2831853 - 1.96558744$

解题步骤 8.4.2.2

从 $6.2831853$ 中减去 $1.96558744$ 。

$x = 4.31759786$

解题步骤 8.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 8.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 8.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 8.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 8.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 8.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 1.96558744 + 2 π n, 4.31759786 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

列出所有解。

$x = 1.1760052 + 2 π n, 5.1071801 + 2 π n, 1.96558744 + 2 π n, 4.31759786 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 10

合并解集。

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解题步骤 10.1

将 $1.1760052 + 2 π n$ 和 $4.31759786 + 2 π n$ 合并为 $1.1760052 + π n$ 。

$x = 1.1760052 + π n, 5.1071801 + 2 π n, 1.96558744 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 10.2

将 $5.1071801 + 2 π n$ 和 $1.96558744 + 2 π n$ 合并为 $1.96558744 + π n$ 。

$x = 1.1760052 + π n, 1.96558744 + π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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