三角学示例

$z^{4} + 4 \sqrt{2} z^{2} + 16 = 0$

解题步骤 1

将 $u = z^{2}$ 代入方程。这将使得二次公式变得更容易使用。

$u^{2} + 4 \sqrt{2} u + 16 = 0$

$u = z^{2}$

解题步骤 2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3

将 $a = 1$ 、 $b = 4 \sqrt{2}$ 和 $c = 16$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{{(4 \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

对 $4 \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{4^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.3

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.3.4.1

约去公因数。

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.3.4.2

重写表达式。

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.3.5

计算指数。

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.4

将 $16$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{32 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.5

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ 。

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解题步骤 4.1.5.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{32 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.5.2

将 $- 4$ 乘以 $16$ 。

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{32 - 64}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.6

从 $32$ 中减去 $64$ 。

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{- 32}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.7

将 $- 32$ 重写为 $- 1 (32)$ 。

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.8

将 $\sqrt{- 1 (32)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}$ 。

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.9

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm i \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.10

将 $32$ 重写为 $4^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 4.1.10.1

从 $32$ 中分解出因数 $16$ 。

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm i \cdot \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.10.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.11

从根式下提出各项。

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm i \cdot (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.12

将 $4$ 移到 $i$ 的左侧。

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm 4 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.3

化简 $\frac{- 4 \sqrt{2} \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$ 。

$u = - 2 \sqrt{2} \pm 2 i \sqrt{2}$

解题步骤 5

最终答案为两个解的组合。

$u = - 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

解题步骤 6

将 $u = z^{2}$ 的真实值代入回已解的方程中。

$z^{2} = - 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}$

${(z^{2})}^{1} = - 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

解题步骤 7

求解 $z$ 的第一个方程。

$z^{2} = - 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}$

解题步骤 8

求解 $z$ 的方程。

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解题步骤 8.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$z = \pm \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}$

解题步骤 8.2

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 8.2.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}$

解题步骤 8.2.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$z = - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}$

解题步骤 8.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}$

解题步骤 9

求解 $z$ 的第二个方程。

${(z^{2})}^{1} = - 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

解题步骤 10

求解 $z$ 的方程。

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解题步骤 10.1

去掉圆括号。

$z^{2} = - 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

解题步骤 10.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$z = \pm \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

解题步骤 10.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 10.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

解题步骤 10.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$z = - \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

解题步骤 10.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

解题步骤 11

$z^{4} + 4 \sqrt{2} z^{2} + 16 = 0$ 的解是 $z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$ 。

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

三角学 示例

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