三角学示例

tan (x) = \frac{sin (x)}{\sqrt{1 - {sin}^{2} (x)}}

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}}$

解题步骤 1

因为根式位于方程的右边，所以要交换两边以便使其位于方程的左边。

\frac{sin (x)}{\sqrt{1 - {sin}^{2} (x)}} = tan (x)

$\frac{\sin (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}} = \tan (x)$

解题步骤 2

交叉相乘。

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解题步骤 2.1

通过将右边分子和左边分母的乘积设为等于左边分子和右边分母的乘积来进行交叉相乘。

tan (x) \cdot (\sqrt{1 - {sin}^{2} (x)}) = sin (x)

$\tan (x) \cdot (\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}) = \sin (x)$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简

tan (x) \cdot (\sqrt{1 - {sin}^{2} (x)})

$\tan (x) \cdot (\sqrt{1 - \sin^{2} (x)})$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

将

tan (x)

$\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

\frac{sin (x)}{cos (x)} \cdot \sqrt{1 - {sin}^{2} (x)} = sin (x)

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sqrt{1 - \sin^{2} (x)} = \sin (x)$

解题步骤 2.2.1.2

将

1

$1$ 重写为

1^{2}

$1^{2}$ 。

\frac{sin (x)}{cos (x)} \cdot \sqrt{1^{2} - {sin}^{2} (x)} = sin (x)

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sqrt{1^{2} - \sin^{2} (x)} = \sin (x)$

解题步骤 2.2.1.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中

a = 1

$a = 1$ 和

b = sin (x)

$b = \sin (x)$ 。

\frac{sin (x)}{cos (x)} \cdot \sqrt{(1 + sin (x)) (1 - sin (x))} = sin (x)

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = \sin (x)$

解题步骤 2.2.1.4

组合

\frac{sin (x)}{cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 和

\sqrt{(1 + sin (x)) (1 - sin (x))}

$\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$ 。

\frac{sin (x) \sqrt{(1 + sin (x)) (1 - sin (x))}}{cos (x)} = sin (x)

$\frac{\sin (x) \sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}}{\cos (x)} = \sin (x)$

解题步骤 2.2.1.5

分离分数。

\frac{\sqrt{(1 + sin (x)) (1 - sin (x))}}{1} \cdot \frac{sin (x)}{cos (x)} = sin (x)

$\frac{\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \sin (x)$

解题步骤 2.2.1.6

将

\frac{sin (x)}{cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成

tan (x)

$\tan (x)$ 。

\frac{\sqrt{(1 + sin (x)) (1 - sin (x))}}{1} tan (x) = sin (x)

$\frac{\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}}{1} \tan (x) = \sin (x)$

解题步骤 2.2.1.7

用

\sqrt{(1 + sin (x)) (1 - sin (x))}

$\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$ 除以

1

$1$ 。

\sqrt{(1 + sin (x)) (1 - sin (x))} tan (x) = sin (x)

$\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} \tan (x) = \sin (x)$

\sqrt{(1 + sin (x)) (1 - sin (x))} tan (x) = sin (x)

$\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} \tan (x) = \sin (x)$

\sqrt{(1 + sin (x)) (1 - sin (x))} tan (x) = sin (x)

$\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} \tan (x) = \sin (x)$

\sqrt{(1 + sin (x)) (1 - sin (x))} tan (x) = sin (x)

$\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} \tan (x) = \sin (x)$

解题步骤 3

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

{(\sqrt{(1 + sin (x)) (1 - sin (x))} tan (x))}^{2} = {sin}^{2} (x)

${(\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4

化简方程的两边。

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解题步骤 4.1

使用

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

\sqrt{(1 + sin (x)) (1 - sin (x))}

$\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$ 重写成

{((1 + sin (x)) (1 - sin (x)))}^{\frac{1}{2}}

${((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}}$ 。

{({((1 + sin (x)) (1 - sin (x)))}^{\frac{1}{2}} tan (x))}^{2} = {sin}^{2} (x)

${({((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

化简

{({((1 + sin (x)) (1 - sin (x)))}^{\frac{1}{2}} tan (x))}^{2}

${({((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

使用 FOIL 方法展开

(1 + sin (x)) (1 - sin (x))

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1.1.1

运用分配律。

{({(1 (1 - sin (x)) + sin (x) (1 - sin (x)))}^{\frac{1}{2}} tan (x))}^{2} = {sin}^{2} (x)

${({(1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2.1.1.2

运用分配律。

{({(1 \cdot 1 + 1 (- sin (x)) + sin (x) (1 - sin (x)))}^{\frac{1}{2}} tan (x))}^{2} = {sin}^{2} (x)

${({(1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2.1.1.3

运用分配律。

{({(1 \cdot 1 + 1 (- sin (x)) + sin (x) \cdot 1 + sin (x) (- sin (x)))}^{\frac{1}{2}} tan (x))}^{2} = {sin}^{2} (x)

${({(1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

{({(1 \cdot 1 + 1 (- sin (x)) + sin (x) \cdot 1 + sin (x) (- sin (x)))}^{\frac{1}{2}} tan (x))}^{2} = {sin}^{2} (x)

${({(1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.2.1.1

将

1

$1$ 乘以

1

$1$ 。

{({(1 + 1 (- sin (x)) + sin (x) \cdot 1 + sin (x) (- sin (x)))}^{\frac{1}{2}} tan (x))}^{2} = {sin}^{2} (x)

${({(1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2.1.2.1.2

将

- sin (x)

$- \sin (x)$ 乘以

1

$1$ 。

{({(1 - sin (x) + sin (x) \cdot 1 + sin (x) (- sin (x)))}^{\frac{1}{2}} tan (x))}^{2} = {sin}^{2} (x)

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2.1.2.1.3

将

sin (x)

$\sin (x)$ 乘以

1

$1$ 。

{({(1 - sin (x) + sin (x) + sin (x) (- sin (x)))}^{\frac{1}{2}} tan (x))}^{2} = {sin}^{2} (x)

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

{({(1 - sin (x) + sin (x) - sin (x) sin (x))}^{\frac{1}{2}} tan (x))}^{2} = {sin}^{2} (x)

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - \sin (x) \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2.1.2.1.5

乘以

- sin (x) sin (x)

$- \sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 4.2.1.2.1.5.1

对

sin (x)

$\sin (x)$ 进行

1

$1$ 次方运算。

{({(1 - sin (x) + sin (x) - ({sin}^{1} (x) sin (x)))}^{\frac{1}{2}} tan (x))}^{2} = {sin}^{2} (x)

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2.1.2.1.5.2

对

sin (x)

$\sin (x)$ 进行

1

$1$ 次方运算。

{({(1 - sin (x) + sin (x) - ({sin}^{1} (x) {sin}^{1} (x)))}^{\frac{1}{2}} tan (x))}^{2} = {sin}^{2} (x)

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2.1.2.1.5.3

使用幂法则

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

{({(1 - sin (x) + sin (x) - {sin (x)}^{1 + 1})}^{\frac{1}{2}} tan (x))}^{2} = {sin}^{2} (x)

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2.1.2.1.5.4

将

1

$1$ 和

1

$1$ 相加。

{({(1 - sin (x) + sin (x) - {sin}^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} tan (x))}^{2} = {sin}^{2} (x)

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

{({(1 - sin (x) + sin (x) - {sin}^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} tan (x))}^{2} = {sin}^{2} (x)

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

{({(1 - sin (x) + sin (x) - {sin}^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} tan (x))}^{2} = {sin}^{2} (x)

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2.1.2.2

将

- sin (x)

$- \sin (x)$ 和

sin (x)

$\sin (x)$ 相加。

{({(1 + 0 - {sin}^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} tan (x))}^{2} = {sin}^{2} (x)

${({(1 + 0 - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2.1.2.3

将

1

$1$ 和

0

$0$ 相加。

{({(1 - {sin}^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} tan (x))}^{2} = {sin}^{2} (x)

${({(1 - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

{({(1 - {sin}^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} tan (x))}^{2} = {sin}^{2} (x)

${({(1 - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2.1.3

使用勾股恒等式。

{({({cos}^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} tan (x))}^{2} = {sin}^{2} (x)

${({(\cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2.1.4

将

{({cos}^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}

${(\cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1.4.1

运用幂法则并将指数相乘，

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

{({cos (x)}^{2 (\frac{1}{2})} tan (x))}^{2} = {sin}^{2} (x)

${({\cos (x)}^{2 (\frac{1}{2})} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2.1.4.2

约去

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.4.2.1

约去公因数。

${({\cos (x)}^{2 (\frac{1}{2})} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2.1.4.2.2

重写表达式。

${(\cos^{1} (x) \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2.1.5

化简。

${(\cos (x) \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2.1.6

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 4.2.1.6.1

将

$\cos (x)$ 和

$\tan (x)$ 重新排序。

${(\tan (x) \cos (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2.1.6.2

将

$\cos (x) \tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2.1.6.3

约去公因数。

$\sin^{2} (x) = \sin^{2} (x)$

解题步骤 5

求解

$x$ 。

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解题步骤 5.1

因为指数相等，所以方程两边指数的底必须相等。

$| \sin (x) | = | \sin (x) |$

解题步骤 5.2

求解

$x$ 。

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解题步骤 5.2.1

将绝对值方程重写成不带绝对值符号的四个方程。

$\sin (x) = \sin (x)$

$\sin (x) = - \sin (x)$

$- \sin (x) = \sin (x)$

$- \sin (x) = - \sin (x)$

解题步骤 5.2.2

化简后，只需求解两个有唯一解的方程。

$\sin (x) = \sin (x)$

$\sin (x) = - \sin (x)$

解题步骤 5.2.3

求解

$x$ 的

$\sin (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 5.2.3.1

为了使两个函数相等，这两个函数的自变量必须相等。

$x = x$

解题步骤 5.2.3.2

将所有包含

$x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 5.2.3.2.1

从等式两边同时减去

$x$ 。

$x - x = 0$

解题步骤 5.2.3.2.2

从

$x$ 中减去

$x$ 。

$0 = 0$

解题步骤 5.2.3.3

因为

$0 = 0$ ，所以方程将恒成立。

所有实数

解题步骤 5.2.4

求解

$x$ 的

$\sin (x) = - \sin (x)$ 。

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解题步骤 5.2.4.1

将所有包含

$\sin (x)$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 5.2.4.1.1

在等式两边都加上

$\sin (x)$ 。

$\sin (x) + \sin (x) = 0$

解题步骤 5.2.4.1.2

将

$\sin (x)$ 和

$\sin (x)$ 相加。

$2 \sin (x) = 0$

解题步骤 5.2.4.2

将

$2 \sin (x) = 0$ 中的每一项除以

$2$ 并化简。

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解题步骤 5.2.4.2.1

将

$2 \sin (x) = 0$ 中的每一项都除以

$2$ 。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 5.2.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.4.2.2.1

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 5.2.4.2.2.1.2

用

$\sin (x)$ 除以

$1$ 。

$\sin (x) = \frac{0}{2}$

解题步骤 5.2.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.4.2.3.1

用

$0$ 除以

$2$ 。

$\sin (x) = 0$

解题步骤 5.2.4.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的

$x$ 。

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 5.2.4.4

化简右边。

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解题步骤 5.2.4.4.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为

$0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.2.4.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从

$π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - 0$

解题步骤 5.2.4.6

从

$π$ 中减去

$0$ 。

$x = π$

解题步骤 5.2.4.7

求

$\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.4.7.1

函数的周期可利用

$\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.2.4.7.2

使用周期公式中的

$1$ 替换

$b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.4.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

$0$ 和

$1$ 之间的距离为

$1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.2.4.7.4

用

$2 π$ 除以

$1$ 。

$2 π$

解题步骤 5.2.4.8

$\sin (x)$ 函数的周期为

$2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔

$2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 6

合并答案。

$x = π n$ ，对于任意整数

$n$

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