三角学示例

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}}$

解题步骤 1

因为根式位于方程的右边，所以要交换两边以便使其位于方程的左边。

$\frac{\sin (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}} = \tan (x)$

解题步骤 2

交叉相乘。

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解题步骤 2.1

通过将右边分子和左边分母的乘积设为等于左边分子和右边分母的乘积来进行交叉相乘。

$\tan (x) \cdot (\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}) = \sin (x)$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简 $\tan (x) \cdot (\sqrt{1 - \sin^{2} (x)})$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sqrt{1 - \sin^{2} (x)} = \sin (x)$

解题步骤 2.2.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sqrt{1^{2} - \sin^{2} (x)} = \sin (x)$

解题步骤 2.2.1.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = \sin (x)$

解题步骤 2.2.1.4

组合 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 和 $\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$ 。

$\frac{\sin (x) \sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}}{\cos (x)} = \sin (x)$

解题步骤 2.2.1.5

分离分数。

$\frac{\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \sin (x)$

解题步骤 2.2.1.6

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}}{1} \tan (x) = \sin (x)$

解题步骤 2.2.1.7

用 $\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$ 除以 $1$ 。

$\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} \tan (x) = \sin (x)$

解题步骤 3

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4

化简方程的两边。

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解题步骤 4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$ 重写成 ${((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

化简 ${({((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1.1.1

运用分配律。

${({(1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2.1.1.2

运用分配律。

${({(1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2.1.1.3

运用分配律。

${({(1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.2.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

${({(1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2.1.2.1.2

将 $- \sin (x)$ 乘以 $1$ 。

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2.1.2.1.3

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - \sin (x) \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2.1.2.1.5

乘以 $- \sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 4.2.1.2.1.5.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2.1.2.1.5.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2.1.2.1.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2.1.2.1.5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2.1.2.2

将 $- \sin (x)$ 和 $\sin (x)$ 相加。

${({(1 + 0 - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2.1.2.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

${({(1 - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2.1.3

使用勾股恒等式。

${({(\cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2.1.4

将 ${(\cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${({\cos (x)}^{2 (\frac{1}{2})} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2.1.4.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.4.2.1

约去公因数。

${({\cos (x)}^{2 (\frac{1}{2})} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2.1.4.2.2

重写表达式。

${(\cos^{1} (x) \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2.1.5

化简。

${(\cos (x) \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2.1.6

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 4.2.1.6.1

将 $\cos (x)$ 和 $\tan (x)$ 重新排序。

${(\tan (x) \cos (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2.1.6.2

将 $\cos (x) \tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.2.1.6.3

约去公因数。

$\sin^{2} (x) = \sin^{2} (x)$

解题步骤 5

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

因为指数相等，所以方程两边指数的底必须相等。

$| \sin (x) | = | \sin (x) |$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.2.1

将绝对值方程重写成不带绝对值符号的四个方程。

$\sin (x) = \sin (x)$

$\sin (x) = - \sin (x)$

$- \sin (x) = \sin (x)$

$- \sin (x) = - \sin (x)$

解题步骤 5.2.2

化简后，只需求解两个有唯一解的方程。

$\sin (x) = \sin (x)$

$\sin (x) = - \sin (x)$

解题步骤 5.2.3

求解 $x$ 的 $\sin (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 5.2.3.1

为了使两个函数相等，这两个函数的自变量必须相等。

$x = x$

解题步骤 5.2.3.2

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 5.2.3.2.1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$x - x = 0$

解题步骤 5.2.3.2.2

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$0 = 0$

解题步骤 5.2.3.3

因为 $0 = 0$ ，所以方程将恒成立。

所有实数

解题步骤 5.2.4

求解 $x$ 的 $\sin (x) = - \sin (x)$ 。

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解题步骤 5.2.4.1

将所有包含 $\sin (x)$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 5.2.4.1.1

在等式两边都加上 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) + \sin (x) = 0$

解题步骤 5.2.4.1.2

将 $\sin (x)$ 和 $\sin (x)$ 相加。

$2 \sin (x) = 0$

解题步骤 5.2.4.2

将 $2 \sin (x) = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 5.2.4.2.1

将 $2 \sin (x) = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 5.2.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.4.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 5.2.4.2.2.1.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) = \frac{0}{2}$

解题步骤 5.2.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.4.2.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$\sin (x) = 0$

解题步骤 5.2.4.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 5.2.4.4

化简右边。

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解题步骤 5.2.4.4.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.2.4.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - 0$

解题步骤 5.2.4.6

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = π$

解题步骤 5.2.4.7

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.4.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.2.4.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.4.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.2.4.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 5.2.4.8

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

合并答案。

$x = π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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