三角学示例

$(\frac{\sin (s - t)}{\sin (t)}) + (\frac{\cos (s - t)}{\cos (t)}) = \frac{\sin (s)}{\sin (t) \cos (t)}$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1

将 $\frac{\sin (s - t)}{\sin (t)}$ 重写为乘积形式。

$\sin (s - t) \frac{1}{\sin (t)} + \frac{\cos (s - t)}{\cos (t)} = \frac{\sin (s)}{\sin (t) \cos (t)}$

解题步骤 1.1.2

将 $\sin (s - t)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{\sin (s - t)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (t)} + \frac{\cos (s - t)}{\cos (t)} = \frac{\sin (s)}{\sin (t) \cos (t)}$

解题步骤 1.1.3

化简。

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解题步骤 1.1.3.1

用 $\sin (s - t)$ 除以 $1$ 。

$\sin (s - t) \frac{1}{\sin (t)} + \frac{\cos (s - t)}{\cos (t)} = \frac{\sin (s)}{\sin (t) \cos (t)}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $\frac{1}{\sin (t)}$ 转换成 $\csc (t)$ 。

$\sin (s - t) \csc (t) + \frac{\cos (s - t)}{\cos (t)} = \frac{\sin (s)}{\sin (t) \cos (t)}$

解题步骤 1.1.4

将 $\frac{\cos (s - t)}{\cos (t)}$ 重写为乘积形式。

$\sin (s - t) \csc (t) + \cos (s - t) \frac{1}{\cos (t)} = \frac{\sin (s)}{\sin (t) \cos (t)}$

解题步骤 1.1.5

将 $\cos (s - t)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\sin (s - t) \csc (t) + \frac{\cos (s - t)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (t)} = \frac{\sin (s)}{\sin (t) \cos (t)}$

解题步骤 1.1.6

化简。

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解题步骤 1.1.6.1

用 $\cos (s - t)$ 除以 $1$ 。

$\sin (s - t) \csc (t) + \cos (s - t) \frac{1}{\cos (t)} = \frac{\sin (s)}{\sin (t) \cos (t)}$

解题步骤 1.1.6.2

将 $\frac{1}{\cos (t)}$ 转换成 $\sec (t)$ 。

$\sin (s - t) \csc (t) + \cos (s - t) \sec (t) = \frac{\sin (s)}{\sin (t) \cos (t)}$

解题步骤 2

化简右边。

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解题步骤 2.1

化简 $\frac{\sin (s)}{\sin (t) \cos (t)}$ 。

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解题步骤 2.1.1

分离分数。

$\sin (s - t) \csc (t) + \cos (s - t) \sec (t) = \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\sin (s)}{\sin (t)}$

解题步骤 2.1.2

将 $\frac{\sin (s)}{\sin (t)}$ 重写为乘积形式。

$\sin (s - t) \csc (t) + \cos (s - t) \sec (t) = \frac{1}{\cos (t)} (\sin (s) \frac{1}{\sin (t)})$

解题步骤 2.1.3

将 $\sin (s)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\sin (s - t) \csc (t) + \cos (s - t) \sec (t) = \frac{1}{\cos (t)} (\frac{\sin (s)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (t)})$

解题步骤 2.1.4

化简。

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解题步骤 2.1.4.1

用 $\sin (s)$ 除以 $1$ 。

$\sin (s - t) \csc (t) + \cos (s - t) \sec (t) = \frac{1}{\cos (t)} (\sin (s) \frac{1}{\sin (t)})$

解题步骤 2.1.4.2

将 $\frac{1}{\sin (t)}$ 转换成 $\csc (t)$ 。

$\sin (s - t) \csc (t) + \cos (s - t) \sec (t) = \frac{1}{\cos (t)} (\sin (s) \csc (t))$

解题步骤 2.1.5

将 $\frac{1}{\cos (t)}$ 转换成 $\sec (t)$ 。

$\sin (s - t) \csc (t) + \cos (s - t) \sec (t) = \sec (t) \sin (s) \csc (t)$

解题步骤 3

化简 $\sin (s - t) \csc (t) + \cos (s - t) \sec (t)$ 。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

将 $\csc (t)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\sin (s - t) \frac{1}{\sin (t)} + \cos (s - t) \sec (t) = \sec (t) \sin (s) \csc (t)$

解题步骤 3.1.2

组合 $\sin (s - t)$ 和 $\frac{1}{\sin (t)}$ 。

$\frac{\sin (s - t)}{\sin (t)} + \cos (s - t) \sec (t) = \sec (t) \sin (s) \csc (t)$

解题步骤 3.1.3

将 $\sec (t)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sin (s - t)}{\sin (t)} + \cos (s - t) \frac{1}{\cos (t)} = \sec (t) \sin (s) \csc (t)$

解题步骤 3.1.4

组合 $\cos (s - t)$ 和 $\frac{1}{\cos (t)}$ 。

$\frac{\sin (s - t)}{\sin (t)} + \frac{\cos (s - t)}{\cos (t)} = \sec (t) \sin (s) \csc (t)$

解题步骤 3.2

要将 $\frac{\sin (s - t)}{\sin (t)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ 。

$\frac{\sin (s - t)}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)} + \frac{\cos (s - t)}{\cos (t)} = \sec (t) \sin (s) \csc (t)$

解题步骤 3.3

要将 $\frac{\cos (s - t)}{\cos (t)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ 。

$\frac{\sin (s - t)}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)} + \frac{\cos (s - t)}{\cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)} = \sec (t) \sin (s) \csc (t)$

解题步骤 3.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $\sin (t) \cos (t)$ 的形式。

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解题步骤 3.4.1

将 $\frac{\sin (s - t)}{\sin (t)}$ 乘以 $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ 。

$\frac{\sin (s - t) \cos (t)}{\sin (t) \cos (t)} + \frac{\cos (s - t)}{\cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)} = \sec (t) \sin (s) \csc (t)$

解题步骤 3.4.2

将 $\frac{\cos (s - t)}{\cos (t)}$ 乘以 $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ 。

$\frac{\sin (s - t) \cos (t)}{\sin (t) \cos (t)} + \frac{\cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \sec (t) \sin (s) \csc (t)$

解题步骤 3.4.3

重新排序 $\sin (t) \cos (t)$ 的因式。

$\frac{\sin (s - t) \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)} + \frac{\cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \sec (t) \sin (s) \csc (t)$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \sec (t) \sin (s) \csc (t)$

解题步骤 4

化简 $\sec (t) \sin (s) \csc (t)$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\sec (t)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \frac{1}{\cos (t)} \sin (s) \csc (t)$

解题步骤 4.2

组合 $\frac{1}{\cos (t)}$ 和 $\sin (s)$ 。

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \frac{\sin (s)}{\cos (t)} \csc (t)$

解题步骤 4.3

将 $\csc (t)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \frac{\sin (s)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}$

解题步骤 4.4

将 $\frac{\sin (s)}{\cos (t)}$ 乘以 $\frac{1}{\sin (t)}$ 。

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \frac{\sin (s)}{\cos (t) \sin (t)}$

解题步骤 4.5

分离分数。

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \frac{1}{\sin (t)} \cdot \frac{\sin (s)}{\cos (t)}$

解题步骤 4.6

将 $\frac{\sin (s)}{\cos (t)}$ 重写为乘积形式。

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \frac{1}{\sin (t)} (\sin (s) \frac{1}{\cos (t)})$

解题步骤 4.7

将 $\sin (s)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \frac{1}{\sin (t)} (\frac{\sin (s)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (t)})$

解题步骤 4.8

化简。

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解题步骤 4.8.1

用 $\sin (s)$ 除以 $1$ 。

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \frac{1}{\sin (t)} (\sin (s) \frac{1}{\cos (t)})$

解题步骤 4.8.2

将 $\frac{1}{\cos (t)}$ 转换成 $\sec (t)$ 。

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \frac{1}{\sin (t)} (\sin (s) \sec (t))$

解题步骤 4.9

将 $\frac{1}{\sin (t)}$ 转换成 $\csc (t)$ 。

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \csc (t) \sin (s) \sec (t)$

解题步骤 5

化简 $\csc (t) \sin (s) \sec (t)$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\csc (t)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \frac{1}{\sin (t)} \sin (s) \sec (t)$

解题步骤 5.2

组合 $\frac{1}{\sin (t)}$ 和 $\sin (s)$ 。

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \frac{\sin (s)}{\sin (t)} \sec (t)$

解题步骤 5.3

将 $\sec (t)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \frac{\sin (s)}{\sin (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)}$

解题步骤 5.4

将 $\frac{\sin (s)}{\sin (t)}$ 乘以 $\frac{1}{\cos (t)}$ 。

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \frac{\sin (s)}{\sin (t) \cos (t)}$

解题步骤 5.5

分离分数。

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\sin (s)}{\sin (t)}$

解题步骤 5.6

将 $\frac{\sin (s)}{\sin (t)}$ 重写为乘积形式。

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \frac{1}{\cos (t)} (\sin (s) \frac{1}{\sin (t)})$

解题步骤 5.7

将 $\sin (s)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \frac{1}{\cos (t)} (\frac{\sin (s)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (t)})$

解题步骤 5.8

化简。

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解题步骤 5.8.1

用 $\sin (s)$ 除以 $1$ 。

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \frac{1}{\cos (t)} (\sin (s) \frac{1}{\sin (t)})$

解题步骤 5.8.2

将 $\frac{1}{\sin (t)}$ 转换成 $\csc (t)$ 。

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \frac{1}{\cos (t)} (\sin (s) \csc (t))$

解题步骤 5.9

将 $\frac{1}{\cos (t)}$ 转换成 $\sec (t)$ 。

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \sec (t) \sin (s) \csc (t)$

解题步骤 6

将所有包含 $s$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 6.1

从等式两边同时减去 $\sec (t) \sin (s) \csc (t)$ 。

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} - \sec (t) \sin (s) \csc (t) = 0$

解题步骤 6.2

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1

将 $\sec (t)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} - \frac{1}{\cos (t)} \sin (s) \csc (t) = 0$

解题步骤 6.2.2

组合 $\sin (s)$ 和 $\frac{1}{\cos (t)}$ 。

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} - \frac{\sin (s)}{\cos (t)} \csc (t) = 0$

解题步骤 6.2.3

将 $\csc (t)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} - \frac{\sin (s)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)} = 0$

解题步骤 6.2.4

将 $\frac{1}{\sin (t)}$ 乘以 $\frac{\sin (s)}{\cos (t)}$ 。

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} - \frac{\sin (s)}{\sin (t) \cos (t)} = 0$

解题步骤 6.3

重新排序 $\sin (t) \cos (t)$ 的因式。

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} - \frac{\sin (s)}{\cos (t) \sin (t)} = 0$

解题步骤 6.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t) - \sin (s)}{\cos (t) \sin (t)} = 0$

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