三角学示例

$\sin (70) \cos (x) - \cos (70) \sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

计算 $\sin (70)$ 。

$0.93969262 \cos (x) - \cos (70) \sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2

计算 $\cos (70)$ 。

$0.93969262 \cos (x) - 1 \cdot (0.34202014 \sin (x)) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.3

将 $- 1$ 乘以 $0.34202014$ 。

$0.93969262 \cos (x) - 0.34202014 \sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2

使用恒等式求解方程。在该恒等式中， $θ$ 表示在图像上画出点 $(a, b)$ 时所得形成的角，因此可以使用 $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ 来求得。

当 $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 和 $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ 时， $a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$

解题步骤 3

建立方程式以求 $θ$ 的值。

$\tan^{-1} (\frac{0.93969262}{- 0.34202014})$

解题步骤 4

取逆正切来求解方程 $θ$ 。

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解题步骤 4.1

用 $0.93969262$ 除以 $- 0.34202014$ 。

$θ = \tan^{-1} (- 2.74747741)$

解题步骤 4.2

计算 $\tan^{-1} (- 2.74747741)$ 。

$θ = - 70$

解题步骤 5

求解出 $R$ 的值。

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解题步骤 5.1

对 $- 0.34202014$ 进行 $2$ 次方运算。

$R = \sqrt{0.11697777 + {(0.93969262)}^{2}}$

解题步骤 5.2

对 $0.93969262$ 进行 $2$ 次方运算。

$R = \sqrt{0.11697777 + 0.88302222}$

解题步骤 5.3

将 $0.11697777$ 和 $0.88302222$ 相加。

$R = \sqrt{1}$

解题步骤 6

将已知值代入方程中。

$(\sqrt{1}) \sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 7

将 $\sqrt{1} \sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中的每一项除以 $\sqrt{1}$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $\sqrt{1} \sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中的每一项都除以 $\sqrt{1}$ 。

$\frac{\sqrt{1} \sin (x - 70)}{\sqrt{1}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{1}}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $\sqrt{1}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{1} \sin (x - 70)}{\sqrt{1}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{1}}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $\sin (x - 70)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x - 70) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{1}}$

解题步骤 7.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}}$

解题步骤 7.3.2

将 $\frac{1}{\sqrt{1}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}}$ 。

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{1}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}})$

解题步骤 7.3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 7.3.3.1

将 $\frac{1}{\sqrt{1}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}}$ 。

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1} \sqrt{1}}$

解题步骤 7.3.3.2

对 $\sqrt{1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{1} \sqrt{1}}$

解题步骤 7.3.3.3

对 $\sqrt{1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{1} {\sqrt{1}}^{1}}$

解题步骤 7.3.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{1 + 1}}$

解题步骤 7.3.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{2}}$

解题步骤 7.3.3.6

将 ${\sqrt{1}}^{2}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 7.3.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1}$ 重写成 $1^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{(1^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 7.3.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 7.3.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.3.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.3.6.4.1

约去公因数。

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.3.3.6.4.2

重写表达式。

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{1}}$

解题步骤 7.3.3.6.5

计算指数。

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1}$

解题步骤 7.3.4

计算根。

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{1}$

解题步骤 7.3.5

用 $1$ 除以 $1$ 。

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

解题步骤 7.3.6

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 8

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x - 70 = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 9

化简右边。

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解题步骤 9.1

$\sin^{-1} (\frac{\sqrt{3}}{2})$ 的准确值为 $60$ 。

$x - 70 = 60$

解题步骤 10

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 10.1

在等式两边都加上 $70$ 。

$x = 60 + 70$

解题步骤 10.2

将 $60$ 和 $70$ 相加。

$x = 130$

解题步骤 11

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $180$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x - 70 = 180 - 60$

解题步骤 12

求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

从 $180$ 中减去 $60$ 。

$x - 70 = 120$

解题步骤 12.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 12.2.1

在等式两边都加上 $70$ 。

$x = 120 + 70$

解题步骤 12.2.2

将 $120$ 和 $70$ 相加。

$x = 190$

解题步骤 13

求 $\sin (x - 70)$ 的周期。

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解题步骤 13.1

函数的周期可利用 $\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 13.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 13.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{360}{1}$

解题步骤 13.4

用 $360$ 除以 $1$ 。

$360$

解题步骤 14

$\sin (x - 70)$ 函数的周期为 $360$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $360$ 度数重复出现。

$x = 130 + 360 n, 190 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 15

排除不能使 $\sin (70) \cos (x) - \cos (70) \sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 成立的解。

无解

三角学 示例

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