三角学示例

$\sin (2 x) + \sqrt{2 \cos (x)} = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\sin (2 x)$ 。

$\sqrt{2 \cos (x)} = - \sin (2 x)$

解题步骤 2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{2 \cos (x)}}^{2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

解题步骤 3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 \cos (x)}$ 重写成 ${(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

化简 ${({(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

将 ${({(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(2 \cos (x))}^{1} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

解题步骤 3.2.1.2

化简。

$2 \cos (x) = {(- \sin (2 x))}^{2}$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

化简 ${(- \sin (2 x))}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

对 $- \sin (2 x)$ 运用乘积法则。

$2 \cos (x) = {(- 1)}^{2} \sin^{2} (2 x)$

解题步骤 3.3.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 \cos (x) = 1 \sin^{2} (2 x)$

解题步骤 3.3.1.3

将 $\sin^{2} (2 x)$ 乘以 $1$ 。

$2 \cos (x) = \sin^{2} (2 x)$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

从等式两边同时减去 $\sin^{2} (2 x)$ 。

$2 \cos (x) - \sin^{2} (2 x) = 0$

解题步骤 4.2

使用 $1 - \cos^{2} (2 x)$ 替换 $\sin^{2} (2 x)$ 。

$2 \cos (x) - (1 - \cos^{2} (2 x)) = 0$

解题步骤 4.3

化简等式左边。

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解题步骤 4.3.1

使用勾股恒等式。

$2 \cos (x) - \sin^{2} (2 x) = 0$

解题步骤 4.3.2

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1

使用正弦倍角公式。

$2 \cos (x) - {(2 \sin (x) \cos (x))}^{2} = 0$

解题步骤 4.3.2.2

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.3.2.2.1

对 $2 \sin (x) \cos (x)$ 运用乘积法则。

$2 \cos (x) - ({(2 \sin (x))}^{2} \cos^{2} (x)) = 0$

解题步骤 4.3.2.2.2

对 $2 \sin (x)$ 运用乘积法则。

$2 \cos (x) - (2^{2} \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) = 0$

解题步骤 4.3.2.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 \cos (x) - (4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) = 0$

解题步骤 4.3.2.4

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \cos (x) - 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 4.4

从 $2 \cos (x) - 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $2 \cos (x)$ 。

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解题步骤 4.4.1

从 $2 \cos (x)$ 中分解出因数 $2 \cos (x)$ 。

$2 \cos (x) \cdot 1 - 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 4.4.2

从 $- 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $2 \cos (x)$ 。

$2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x) \cos (x)) = 0$

解题步骤 4.4.3

从 $2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x) \cos (x))$ 中分解出因数 $2 \cos (x)$ 。

$2 \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)) = 0$

解题步骤 4.5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

$1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

解题步骤 4.6

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.6.1

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

解题步骤 4.6.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 4.6.2.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (0)$

解题步骤 4.6.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.6.2.2.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 4.6.2.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.6.2.4

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 4.6.2.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.6.2.4.2

合并分数。

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解题步骤 4.6.2.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.6.2.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 4.6.2.4.3

化简分子。

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解题步骤 4.6.2.4.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 4.6.2.4.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 4.6.2.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.6.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.6.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 4.6.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 4.6.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 4.6.2.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4.7

将 $1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.7.1

将 $1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ 设为等于 $0$ 。

$1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

解题步骤 4.7.2

求解 $x$ 的 $1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 4.7.2.1

使用基于 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式的 $1 - \cos^{2} (x)$ 替换 $\sin^{2} (x)$ 。

$1 (1 - \cos^{2} (x)) \cos (x) = 0$

解题步骤 4.7.2.2

将 $1 - \cos^{2} (x)$ 乘以 $1$ 。

$(1 - \cos^{2} (x)) \cos (x) = 0$

解题步骤 4.7.2.3

运用分配律。

$1 \cos (x) - \cos^{2} (x) \cos (x) = 0$

解题步骤 4.7.2.4

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \cos (x) = 0$

解题步骤 4.7.2.5

通过指数相加将 $\cos^{2} (x)$ 乘以 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 4.7.2.5.1

移动 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) - (\cos (x) \cos^{2} (x)) = 0$

解题步骤 4.7.2.5.2

将 $\cos (x)$ 乘以 $\cos^{2} (x)$ 。

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解题步骤 4.7.2.5.2.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (x) - (\cos (x) \cos^{2} (x)) = 0$

解题步骤 4.7.2.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 2} = 0$

解题步骤 4.7.2.5.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\cos (x) - \cos^{3} (x) = 0$

解题步骤 4.7.2.6

重新排列多项式。

$- \cos^{3} (x) + \cos (x) = 0$

解题步骤 4.7.2.7

代入 $u$ 替换 $\cos (x)$ 。

$- {(u)}^{3} + u = 0$

解题步骤 4.7.2.8

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 4.7.2.8.1

从 $- u^{3} + u$ 中分解出因数 $- u$ 。

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解题步骤 4.7.2.8.1.1

从 $- u^{3}$ 中分解出因数 $- u$ 。

$- u \cdot u^{2} + u = 0$

解题步骤 4.7.2.8.1.2

将 $u$ 重写为 $1 u$ 。

$- u \cdot u^{2} + 1 u = 0$

解题步骤 4.7.2.8.1.3

从 $1 u$ 中分解出因数 $- u$ 。

$- u \cdot u^{2} - u \cdot - 1 = 0$

解题步骤 4.7.2.8.1.4

从 $- u \cdot u^{2} - u \cdot - 1$ 中分解出因数 $- u$ 。

$- u (u^{2} - 1) = 0$

解题步骤 4.7.2.8.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$- u (u^{2} - 1^{2}) = 0$

解题步骤 4.7.2.8.3

因数。

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解题步骤 4.7.2.8.3.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = u$ 和 $b = 1$ 。

$- u ((u + 1) (u - 1)) = 0$

解题步骤 4.7.2.8.3.2

去掉多余的括号。

$- u (u + 1) (u - 1) = 0$

解题步骤 4.7.2.9

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u = 0$

$u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

解题步骤 4.7.2.10

将 $u$ 设为等于 $0$ 。

$u = 0$

解题步骤 4.7.2.11

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 4.7.2.11.1

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 。

$u + 1 = 0$

解题步骤 4.7.2.11.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$u = - 1$

解题步骤 4.7.2.12

将 $u - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 4.7.2.12.1

将 $u - 1$ 设为等于 $0$ 。

$u - 1 = 0$

解题步骤 4.7.2.12.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$u = 1$

解题步骤 4.7.2.13

最终解为使 $- u (u + 1) (u - 1) = 0$ 成立的所有值。

$u = 0, - 1, 1$

解题步骤 4.7.2.14

代入 $\cos (x)$ 替换 $u$ 。

$\cos (x) = 0, - 1, 1$

解题步骤 4.7.2.15

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\cos (x) = 0$

$\cos (x) = - 1$

$\cos (x) = 1$

解题步骤 4.7.2.16

在 $\cos (x) = 0$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 4.7.2.16.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (0)$

解题步骤 4.7.2.16.2

化简右边。

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解题步骤 4.7.2.16.2.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 4.7.2.16.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.7.2.16.4

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 4.7.2.16.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.7.2.16.4.2

合并分数。

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解题步骤 4.7.2.16.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.7.2.16.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 4.7.2.16.4.3

化简分子。

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解题步骤 4.7.2.16.4.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 4.7.2.16.4.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 4.7.2.16.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.7.2.16.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.7.2.16.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 4.7.2.16.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 4.7.2.16.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 4.7.2.16.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4.7.2.17

在 $\cos (x) = - 1$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 4.7.2.17.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- 1)$

解题步骤 4.7.2.17.2

化简右边。

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解题步骤 4.7.2.17.2.1

$\arccos (- 1)$ 的准确值为 $π$ 。

$x = π$

解题步骤 4.7.2.17.3

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - π$

解题步骤 4.7.2.17.4

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$x = π$

解题步骤 4.7.2.17.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.7.2.17.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.7.2.17.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 4.7.2.17.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 4.7.2.17.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 4.7.2.17.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4.7.2.18

在 $\cos (x) = 1$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 4.7.2.18.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (1)$

解题步骤 4.7.2.18.2

化简右边。

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解题步骤 4.7.2.18.2.1

$\arccos (1)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 4.7.2.18.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - 0$

解题步骤 4.7.2.18.4

从 $2 π$ 中减去 $0$ 。

$x = 2 π$

解题步骤 4.7.2.18.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.7.2.18.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.7.2.18.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 4.7.2.18.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 4.7.2.18.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 4.7.2.18.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4.7.2.19

列出所有解。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4.7.2.20

合并答案。

$x = \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4.8

最终解为使 $2 \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

合并答案。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{π}{2} + 2 π n$ 和 $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ 合并为 $\frac{π}{2} + π n$ 。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5.2

将 $\frac{π}{2} + π n$ 和 $\frac{π n}{2}$ 合并为 $\frac{π n}{2}$ 。

$x = \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

将每一个解代入 $\sin (2 x) + \sqrt{2 \cos (x)} = 0$ 并求解从而对其进行验证。

$x = 4.71238898, 10.99557428$ ，对于任意整数 $n$

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