三角学示例

$\sin (2 x) = \cos (3 x)$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\cos (3 x)$ 。

$\sin (2 x) - \cos (3 x) = 0$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

使用正弦倍角公式。

$2 \sin (x) \cos (x) - \cos (3 x) = 0$

解题步骤 2.2

使用三倍角公式把 $\cos (3 x)$ 转换为 $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ 。

$2 \sin (x) \cos (x) - (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) = 0$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$2 \sin (x) \cos (x) - (4 \cos^{3} (x)) - (- 3 \cos (x)) = 0$

解题步骤 2.4

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos^{3} (x) - (- 3 \cos (x)) = 0$

解题步骤 2.5

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x) = 0$

解题步骤 3

从 $2 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 3.1

从 $2 \sin (x) \cos (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) (2 \sin (x)) - 4 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x) = 0$

解题步骤 3.2

从 $- 4 \cos^{3} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- 4 \cos^{2} (x)) + 3 \cos (x) = 0$

解题步骤 3.3

从 $3 \cos (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- 4 \cos^{2} (x)) + \cos (x) \cdot 3 = 0$

解题步骤 3.4

从 $\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- 4 \cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x)) + \cos (x) \cdot 3 = 0$

解题步骤 3.5

从 $\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x)) + \cos (x) \cdot 3$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3) = 0$

解题步骤 4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

$2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$

解题步骤 5

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (0)$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.4

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 5.2.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.4.2

合并分数。

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解题步骤 5.2.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 5.2.4.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.4.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 5.2.4.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 5.2.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 5.2.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

将 $2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3$ 设为等于 $0$ 。

$2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

使用基于 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式的 $- 4 (1 - \sin^{2} (x))$ 替换 $- 4 \cos^{2} (x)$ 。

$2 \sin (x) - 4 (1 - \sin^{2} (x)) + 3 = 0$

解题步骤 6.2.2

化简每一项。

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解题步骤 6.2.2.1

运用分配律。

$2 \sin (x) - 4 \cdot 1 - 4 (- \sin^{2} (x)) + 3 = 0$

解题步骤 6.2.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$2 \sin (x) - 4 - 4 (- \sin^{2} (x)) + 3 = 0$

解题步骤 6.2.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$2 \sin (x) - 4 + 4 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

解题步骤 6.2.3

将 $- 4$ 和 $3$ 相加。

$2 \sin (x) + 4 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

解题步骤 6.2.4

重新排列多项式。

$4 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 = 0$

解题步骤 6.2.5

代入 $u$ 替换 $\sin (x)$ 。

$4 {(u)}^{2} + 2 (u) - 1 = 0$

解题步骤 6.2.6

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 6.2.7

将 $a = 4$ 、 $b = 2$ 和 $c = - 1$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 6.2.8

化简。

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解题步骤 6.2.8.1

化简分子。

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解题步骤 6.2.8.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 6.2.8.1.2

乘以 $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 6.2.8.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 6.2.8.1.2.2

将 $- 16$ 乘以 $- 1$ 。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 6.2.8.1.3

将 $4$ 和 $16$ 相加。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 6.2.8.1.4

将 $20$ 重写为 $2^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 6.2.8.1.4.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 6.2.8.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 6.2.8.1.5

从根式下提出各项。

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 6.2.8.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

解题步骤 6.2.8.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ 。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{4}$

解题步骤 6.2.9

最终答案为两个解的组合。

$u = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

解题步骤 6.2.10

代入 $\sin (x)$ 替换 $u$ 。

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

解题步骤 6.2.11

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

解题步骤 6.2.12

在 $\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.12.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{4})$

解题步骤 6.2.12.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.12.2.1

计算 $\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{4})$ 。

$x = \frac{π}{10}$

解题步骤 6.2.12.3

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{10} + π$

解题步骤 6.2.12.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 6.2.12.4.1

从 $2 π - \frac{π}{10} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π - \frac{π}{10} + π - 2 π$

解题步骤 6.2.12.4.2

得出的角 $\frac{9 π}{10}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π - \frac{π}{10} + π$ 共边。

$x = \frac{9 π}{10}$

解题步骤 6.2.12.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 6.2.12.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.2.12.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 6.2.12.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 6.2.12.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 6.2.12.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6.2.13

在 $\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.13.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- \frac{1 + \sqrt{5}}{4})$

解题步骤 6.2.13.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.13.2.1

计算 $\arcsin (- \frac{1 + \sqrt{5}}{4})$ 。

$x = - \frac{3 π}{10}$

解题步骤 6.2.13.3

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 π + \frac{3 π}{10} + π$

解题步骤 6.2.13.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 6.2.13.4.1

从 $2 π + \frac{3 π}{10} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{3 π}{10} + π - 2 π$

解题步骤 6.2.13.4.2

得出的角 $\frac{13 π}{10}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{3 π}{10} + π$ 共边。

$x = \frac{13 π}{10}$

解题步骤 6.2.13.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 6.2.13.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.2.13.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 6.2.13.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 6.2.13.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 6.2.13.6

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 6.2.13.6.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{3 π}{10}$ 以求正角。

$- \frac{3 π}{10} + 2 π$

解题步骤 6.2.13.6.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{10}{10}$ 。

$2 π \cdot \frac{10}{10} - \frac{3 π}{10}$

解题步骤 6.2.13.6.3

合并分数。

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解题步骤 6.2.13.6.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{10}{10}$ 。

$\frac{2 π \cdot 10}{10} - \frac{3 π}{10}$

解题步骤 6.2.13.6.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 10 - 3 π}{10}$

解题步骤 6.2.13.6.4

化简分子。

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解题步骤 6.2.13.6.4.1

将 $10$ 乘以 $2$ 。

$\frac{20 π - 3 π}{10}$

解题步骤 6.2.13.6.4.2

从 $20 π$ 中减去 $3 π$ 。

$\frac{17 π}{10}$

解题步骤 6.2.13.6.5

列出新角。

$x = \frac{17 π}{10}$

解题步骤 6.2.13.7

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6.2.14

列出所有解。

$x = \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n, \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

最终解为使 $\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n, \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

将 $\frac{π}{2} + 2 π n$ 和 $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ 合并为 $\frac{π}{2} + π n$ 。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n, \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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