三角学示例

$\csc (4 x) = \sqrt{2}$

解题步骤 1

取等式两边的反余割以从余割中提出 $x$ 。

$4 x = arccsc (\sqrt{2})$

解题步骤 2

化简右边。

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解题步骤 2.1

$arccsc (\sqrt{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$4 x = \frac{π}{4}$

解题步骤 3

将 $4 x = \frac{π}{4}$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 3.1

将 $4 x = \frac{π}{4}$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{4}}{4}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{4}}{4}$

解题步骤 3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{π}{4}}{4}$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 3.3.2

乘以 $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $\frac{π}{4}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$x = \frac{π}{4 \cdot 4}$

解题步骤 3.3.2.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{π}{16}$

解题步骤 4

余割函数在第一和第二象限为正值。要求第二个解，应从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$4 x = π - \frac{π}{4}$

解题步骤 5

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

化简。

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解题步骤 5.1.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$4 x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 5.1.2

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$4 x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 5.1.3

在公分母上合并分子。

$4 x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 5.1.4

从 $π \cdot 4$ 中减去 $π$ 。

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解题步骤 5.1.4.1

将 $π$ 和 $4$ 重新排序。

$4 x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

解题步骤 5.1.4.2

从 $4 \cdot π$ 中减去 $π$ 。

$4 x = \frac{3 \cdot π}{4}$

解题步骤 5.2

将 $4 x = \frac{3 \cdot π}{4}$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $4 x = \frac{3 \cdot π}{4}$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{4}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{4}$

解题步骤 5.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{4}$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{3 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 5.2.3.2

乘以 $\frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 5.2.3.2.1

将 $\frac{3 π}{4}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$x = \frac{3 π}{4 \cdot 4}$

解题步骤 5.2.3.2.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{3 π}{16}$

解题步骤 6

求 $\csc (4 x)$ 的周期。

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解题步骤 6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.2

使用周期公式中的 $4$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 4 |}$

解题步骤 6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $4$ 之间的距离为 $4$ 。

$\frac{2 π}{4}$

解题步骤 6.4

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (π)}{4}$

解题步骤 6.4.2

约去公因数。

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解题步骤 6.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.4.2.2

约去公因数。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.4.2.3

重写表达式。

$\frac{π}{2}$

解题步骤 7

$\csc (4 x)$ 函数的周期为 $\frac{π}{2}$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $\frac{π}{2}$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{16} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{16} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

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