三角学示例

$\csc (\frac{3 π}{4}) = \sin (x)$

解题步骤 1

将方程重写为 $\sin (x) = \csc (\frac{3 π}{4})$ 。

$\sin (x) = \csc (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 2

使用 $h a l f - a n g l e$ 公式化简表达式。

$\pm \sqrt{1 - \frac{\cos (2 x)}{2}} = \csc (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 3

从方程的两边同时去掉 $\pm$ 。

$\sqrt{1 - \frac{\cos (2 x)}{2}} = \csc (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 4

因为每个表达式的平方根相等，所以平方根内的表达式也必须相等。

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2} = \csc (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 5

化简 $\csc (\frac{3 π}{4})$ 。

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解题步骤 5.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2} = \csc (\frac{π}{4})$

解题步骤 5.2

$\csc (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\sqrt{2}$ 。

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2} = \sqrt{2}$

解题步骤 6

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \frac{\cos (2 x)}{2} = \sqrt{2} - 1$

解题步骤 7

等式两边同时乘以 $- 2$ 。

$- 2 (- \frac{\cos (2 x)}{2}) = - 2 (\sqrt{2} - 1)$

解题步骤 8

化简方程的两边。

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解题步骤 8.1

化简左边。

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解题步骤 8.1.1

化简 $- 2 (- \frac{\cos (2 x)}{2})$ 。

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解题步骤 8.1.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.1.1.1.1

将 $- \frac{\cos (2 x)}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$- 2 \frac{- \cos (2 x)}{2} = - 2 (\sqrt{2} - 1)$

解题步骤 8.1.1.1.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 1) \frac{- \cos (2 x)}{2} = - 2 (\sqrt{2} - 1)$

解题步骤 8.1.1.1.3

约去公因数。

$2 \cdot - 1 \frac{- \cos (2 x)}{2} = - 2 (\sqrt{2} - 1)$

解题步骤 8.1.1.1.4

重写表达式。

$- - \cos (2 x) = - 2 (\sqrt{2} - 1)$

解题步骤 8.1.1.2

乘。

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解题步骤 8.1.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \cos (2 x) = - 2 (\sqrt{2} - 1)$

解题步骤 8.1.1.2.2

将 $\cos (2 x)$ 乘以 $1$ 。

$\cos (2 x) = - 2 (\sqrt{2} - 1)$

解题步骤 8.2

化简右边。

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解题步骤 8.2.1

化简 $- 2 (\sqrt{2} - 1)$ 。

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解题步骤 8.2.1.1

运用分配律。

$\cos (2 x) = - 2 \sqrt{2} - 2 \cdot - 1$

解题步骤 8.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\cos (2 x) = - 2 \sqrt{2} + 2$

解题步骤 9

将等式的右边转换为等值的小数形式。

$\cos (2 x) = - 0.82842712$

解题步骤 10

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$2 x = \arccos (- 0.82842712)$

解题步骤 11

化简右边。

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解题步骤 11.1

计算 $\arccos (- 0.82842712)$ 。

$2 x = 2.54708993$

解题步骤 12

将 $2 x = 2.54708993$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 12.1

将 $2 x = 2.54708993$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{2.54708993}{2}$

解题步骤 12.2

化简左边。

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解题步骤 12.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{2.54708993}{2}$

解题步骤 12.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{2.54708993}{2}$

解题步骤 12.3

化简右边。

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解题步骤 12.3.1

用 $2.54708993$ 除以 $2$ 。

$x = 1.27354496$

解题步骤 13

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$2 x = 2 (3.14159265) - 2.54708993$

解题步骤 14

求解 $x$ 。

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解题步骤 14.1

化简。

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解题步骤 14.1.1

将 $2$ 乘以 $3.14159265$ 。

$2 x = 6.2831853 - 2.54708993$

解题步骤 14.1.2

从 $6.2831853$ 中减去 $2.54708993$ 。

$2 x = 3.73609537$

解题步骤 14.2

将 $2 x = 3.73609537$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 14.2.1

将 $2 x = 3.73609537$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3.73609537}{2}$

解题步骤 14.2.2

化简左边。

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解题步骤 14.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3.73609537}{2}$

解题步骤 14.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{3.73609537}{2}$

解题步骤 14.2.3

化简右边。

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解题步骤 14.2.3.1

用 $3.73609537$ 除以 $2$ 。

$x = 1.86804768$

解题步骤 15

求 $\cos (2 x)$ 的周期。

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解题步骤 15.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 15.2

使用周期公式中的 $2$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

解题步骤 15.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 15.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.4.1

约去公因数。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 15.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 16

$\cos (2 x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = 1.27354496 + π n, 1.86804768 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 17

排除不能使 $\csc (\frac{3 π}{4}) = \sin (x)$ 成立的解。

无解

三角学 示例

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