三角学示例

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \cos (67.5)}{2}}$

解题步骤 1

化简 $\sqrt{\frac{1 + \cos (67.5)}{2}}$ 。

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解题步骤 1.1

$\cos (67.5)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1

将 $67.5$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{135}{2})}{2}}$

解题步骤 1.1.2

使用余弦半角公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 。

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}}}{2}}$

解题步骤 1.1.3

因为余弦在第一象限中为正，所以将 $\pm$ 变为 $+$ 。

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}}}{2}}$

解题步骤 1.1.4

化简 $\sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}}$ 。

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解题步骤 1.1.4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{2}}}{2}}$

解题步骤 1.1.4.2

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}{2}}$

解题步骤 1.1.4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}{2}}$

解题步骤 1.1.4.4

在公分母上合并分子。

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}}{2}}$

解题步骤 1.1.4.5

将分子乘以分母的倒数。

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}{2}}$

解题步骤 1.1.4.6

乘以 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.4.6.1

将 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}{2}}$

解题步骤 1.1.4.6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}}{2}}$

解题步骤 1.1.4.7

将 $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 。

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}}{2}}$

解题步骤 1.1.4.8

化简分母。

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解题步骤 1.1.4.8.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}}{2}}$

解题步骤 1.1.4.8.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{2}}$

解题步骤 1.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{2}}$

解题步骤 1.3

在公分母上合并分子。

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{2}}$

解题步骤 1.4

将分子乘以分母的倒数。

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

解题步骤 1.5

乘以 $\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.5.1

将 $\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 1.5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{4}}$

解题步骤 1.6

将 $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{\sqrt{4}}$ 。

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 1.7

化简分母。

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解题步骤 1.7.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 1.7.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{2}$

解题步骤 2

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$\frac{x}{2} = \arccos (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{2})$

解题步骤 3

化简右边。

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解题步骤 3.1

计算 $\arccos (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{2})$ 。

$\frac{x}{2} = 33.75$

解题步骤 4

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 33.75$

解题步骤 5

化简方程的两边。

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解题步骤 5.1

化简左边。

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解题步骤 5.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 33.75$

解题步骤 5.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 \cdot 33.75$

解题步骤 5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.1

将 $2$ 乘以 $33.75$ 。

$x = 67.5$

解题步骤 6

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $360$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$\frac{x}{2} = 360 - 33.75$

解题步骤 7

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 (360 - 33.75)$

解题步骤 7.2

化简方程的两边。

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解题步骤 7.2.1

化简左边。

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解题步骤 7.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 (360 - 33.75)$

解题步骤 7.2.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 (360 - 33.75)$

解题步骤 7.2.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.2.1

化简 $2 (360 - 33.75)$ 。

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解题步骤 7.2.2.1.1

从 $360$ 中减去 $33.75$ 。

$x = 2 \cdot 326.25$

解题步骤 7.2.2.1.2

将 $2$ 乘以 $326.25$ 。

$x = 652.5$

解题步骤 8

求 $\cos (\frac{x}{2})$ 的周期。

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解题步骤 8.1

函数的周期可利用 $\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 8.2

使用周期公式中的 $\frac{1}{2}$ 替换 $b$ 。

$\frac{360}{| \frac{1}{2} |}$

解题步骤 8.3

$\frac{1}{2}$ 约为 $0.5$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{360}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8.4

将分子乘以分母的倒数。

$360 \cdot 2$

解题步骤 8.5

将 $360$ 乘以 $2$ 。

$720$

解题步骤 9

$\cos (\frac{x}{2})$ 函数的周期为 $720$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $720$ 度数重复出现。

$x = 67.5 + 720 n, 652.5 + 720 n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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