三角学示例

$5 \sin (3 x) + 6 \cos (3 x) = 1$

解题步骤 1

使用恒等式求解方程。在该恒等式中， $θ$ 表示在图像上画出点 $(a, b)$ 时所得形成的角，因此可以使用 $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ 来求得。

当 $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 和 $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ 时， $a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$

解题步骤 2

建立方程式以求 $θ$ 的值。

$\tan^{-1} (\frac{6}{5})$

解题步骤 3

计算 $\tan^{-1} (\frac{6}{5})$ 。

$θ = 0.87605805$

解题步骤 4

求解出 $R$ 的值。

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解题步骤 4.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$R = \sqrt{25 + {(6)}^{2}}$

解题步骤 4.2

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$R = \sqrt{25 + 36}$

解题步骤 4.3

将 $25$ 和 $36$ 相加。

$R = \sqrt{61}$

解题步骤 5

将已知值代入方程中。

$(\sqrt{61}) \sin (3 x + 0.87605805) = 1$

解题步骤 6

将 $\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805) = 1$ 中的每一项除以 $\sqrt{61}$ 并化简。

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解题步骤 6.1

将 $\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805) = 1$ 中的每一项都除以 $\sqrt{61}$ 。

$\frac{\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805)}{\sqrt{61}} = \frac{1}{\sqrt{61}}$

解题步骤 6.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.1

约去 $\sqrt{61}$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805)}{\sqrt{61}} = \frac{1}{\sqrt{61}}$

解题步骤 6.2.1.2

用 $\sin (3 x + 0.87605805)$ 除以 $1$ 。

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{1}{\sqrt{61}}$

解题步骤 6.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.1

将 $\frac{1}{\sqrt{61}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$ 。

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{1}{\sqrt{61}} \cdot \frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$

解题步骤 6.3.2

合并和化简分母。

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解题步骤 6.3.2.1

将 $\frac{1}{\sqrt{61}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$ 。

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61} \sqrt{61}}$

解题步骤 6.3.2.2

对 $\sqrt{61}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1} \sqrt{61}}$

解题步骤 6.3.2.3

对 $\sqrt{61}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1} {\sqrt{61}}^{1}}$

解题步骤 6.3.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1 + 1}}$

解题步骤 6.3.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{2}}$

解题步骤 6.3.2.6

将 ${\sqrt{61}}^{2}$ 重写为 $61$ 。

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解题步骤 6.3.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{61}$ 重写成 $61^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{(61^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 6.3.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 6.3.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.3.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.6.4.1

约去公因数。

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.3.2.6.4.2

重写表达式。

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{1}}$

解题步骤 6.3.2.6.5

计算指数。

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61}$

解题步骤 7

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$3 x + 0.87605805 = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{61}}{61})$

解题步骤 8

化简右边。

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解题步骤 8.1

计算 $\sin^{-1} (\frac{\sqrt{61}}{61})$ 。

$3 x + 0.87605805 = 0.12838931$

解题步骤 9

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.1

从等式两边同时减去 $0.87605805$ 。

$3 x = 0.12838931 - 0.87605805$

解题步骤 9.2

从 $0.12838931$ 中减去 $0.87605805$ 。

$3 x = - 0.74766873$

解题步骤 10

将 $3 x = - 0.74766873$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 10.1

将 $3 x = - 0.74766873$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 0.74766873}{3}$

解题步骤 10.2

化简左边。

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解题步骤 10.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 0.74766873}{3}$

解题步骤 10.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 0.74766873}{3}$

解题步骤 10.3

化简右边。

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解题步骤 10.3.1

用 $- 0.74766873$ 除以 $3$ 。

$x = - 0.24922291$

解题步骤 11

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$3 x + 0.87605805 = (3.14159265) - 0.12838931$

解题步骤 12

求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

从 $3.14159265$ 中减去 $0.12838931$ 。

$3 x + 0.87605805 = 3.01320333$

解题步骤 12.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 12.2.1

从等式两边同时减去 $0.87605805$ 。

$3 x = 3.01320333 - 0.87605805$

解题步骤 12.2.2

从 $3.01320333$ 中减去 $0.87605805$ 。

$3 x = 2.13714528$

解题步骤 12.3

将 $3 x = 2.13714528$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 12.3.1

将 $3 x = 2.13714528$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{2.13714528}{3}$

解题步骤 12.3.2

化简左边。

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解题步骤 12.3.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 12.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{2.13714528}{3}$

解题步骤 12.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{2.13714528}{3}$

解题步骤 12.3.3

化简右边。

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解题步骤 12.3.3.1

用 $2.13714528$ 除以 $3$ 。

$x = 0.71238176$

解题步骤 13

求 $\sin (3 x + 0.87605805)$ 的周期。

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解题步骤 13.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 13.2

使用周期公式中的 $3$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 3 |}$

解题步骤 13.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $3$ 之间的距离为 $3$ 。

$\frac{2 π}{3}$

解题步骤 14

将 $\frac{2 π}{3}$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 14.1

将 $\frac{2 π}{3}$ 加到 $- 0.24922291$ 以求正角。

$- 0.24922291 + \frac{2 π}{3}$

解题步骤 14.2

从 $\frac{2 π}{3}$ 中减去 $0.24922291$ 。

$1.84517219$

解题步骤 14.3

列出新角。

$x = 1.84517219$

解题步骤 15

$\sin (3 x + 0.87605805)$ 函数的周期为 $\frac{2 π}{3}$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $\frac{2 π}{3}$ 弧度将重复出现。

$x = 0.71238176 + \frac{2 π n}{3}, 1.84517219 + \frac{2 π n}{3}$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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