三角学示例

$8 \sin^{2} (x) - 4 \sin (x) = 2$

解题步骤 1

代入 $u$ 替换 $\sin (x)$ 。

$8 {(u)}^{2} - 4 u = 2$

解题步骤 2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$8 u^{2} - 4 u - 2 = 0$

解题步骤 3

从 $8 u^{2} - 4 u - 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 3.1

从 $8 u^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (4 u^{2}) - 4 u - 2 = 0$

解题步骤 3.2

从 $- 4 u$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (4 u^{2}) + 2 (- 2 u) - 2 = 0$

解题步骤 3.3

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (4 u^{2}) + 2 (- 2 u) + 2 (- 1) = 0$

解题步骤 3.4

从 $2 (4 u^{2}) + 2 (- 2 u)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (4 u^{2} - 2 u) + 2 (- 1) = 0$

解题步骤 3.5

从 $2 (4 u^{2} - 2 u) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (4 u^{2} - 2 u - 1) = 0$

解题步骤 4

将 $2 (4 u^{2} - 2 u - 1) = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 4.1

将 $2 (4 u^{2} - 2 u - 1) = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 (4 u^{2} - 2 u - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 (4 u^{2} - 2 u - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $4 u^{2} - 2 u - 1$ 除以 $1$ 。

$4 u^{2} - 2 u - 1 = \frac{0}{2}$

解题步骤 4.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$4 u^{2} - 2 u - 1 = 0$

解题步骤 5

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 6

将 $a = 4$ 、 $b = - 2$ 和 $c = - 1$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.1.2

乘以 $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.1.2.2

将 $- 16$ 乘以 $- 1$ 。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.1.3

将 $4$ 和 $16$ 相加。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.1.4

将 $20$ 重写为 $2^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 7.1.4.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.1.5

从根式下提出各项。

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

解题步骤 7.3

化简 $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$

解题步骤 8

最终答案为两个解的组合。

$u = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

解题步骤 9

代入 $\sin (x)$ 替换 $u$ 。

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

解题步骤 10

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

$\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

解题步骤 11

在 $\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{1 + \sqrt{5}}{4})$

解题步骤 11.2

化简右边。

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解题步骤 11.2.1

计算 $\arcsin (\frac{1 + \sqrt{5}}{4})$ 。

$x = \frac{3 π}{10}$

解题步骤 11.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - \frac{3 π}{10}$

解题步骤 11.4

化简 $π - \frac{3 π}{10}$ 。

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解题步骤 11.4.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{10}{10}$ 。

$x = π \cdot \frac{10}{10} - \frac{3 π}{10}$

解题步骤 11.4.2

合并分数。

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解题步骤 11.4.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{10}{10}$ 。

$x = \frac{π \cdot 10}{10} - \frac{3 π}{10}$

解题步骤 11.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 10 - 3 π}{10}$

解题步骤 11.4.3

化简分子。

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解题步骤 11.4.3.1

将 $10$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{10 \cdot π - 3 π}{10}$

解题步骤 11.4.3.2

从 $10 π$ 中减去 $3 π$ 。

$x = \frac{7 π}{10}$

解题步骤 11.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 11.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 11.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 11.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 11.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 11.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{10} + 2 π n, \frac{7 π}{10} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 12

在 $\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{4})$

解题步骤 12.2

化简右边。

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解题步骤 12.2.1

计算 $\arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{4})$ 。

$x = - \frac{π}{10}$

解题步骤 12.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π + \frac{π}{10}$

解题步骤 12.4

化简 $π + \frac{π}{10}$ 。

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解题步骤 12.4.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{10}{10}$ 。

$x = π \cdot \frac{10}{10} + \frac{π}{10}$

解题步骤 12.4.2

合并分数。

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解题步骤 12.4.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{10}{10}$ 。

$x = \frac{π \cdot 10}{10} + \frac{π}{10}$

解题步骤 12.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 10 + π}{10}$

解题步骤 12.4.3

化简分子。

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解题步骤 12.4.3.1

将 $10$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{10 \cdot π + π}{10}$

解题步骤 12.4.3.2

将 $10 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{11 π}{10}$

解题步骤 12.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 12.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 12.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 12.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 12.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 12.6

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 12.6.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{10}$ 以求正角。

$- \frac{π}{10} + 2 π$

解题步骤 12.6.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{10}{10}$ 。

$2 π \cdot \frac{10}{10} - \frac{π}{10}$

解题步骤 12.6.3

合并分数。

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解题步骤 12.6.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{10}{10}$ 。

$\frac{2 π \cdot 10}{10} - \frac{π}{10}$

解题步骤 12.6.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 10 - π}{10}$

解题步骤 12.6.4

化简分子。

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解题步骤 12.6.4.1

将 $10$ 乘以 $2$ 。

$\frac{20 π - π}{10}$

解题步骤 12.6.4.2

从 $20 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{19 π}{10}$

解题步骤 12.6.5

列出新角。

$x = \frac{19 π}{10}$

解题步骤 12.7

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{11 π}{10} + 2 π n, \frac{19 π}{10} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 13

列出所有解。

$x = \frac{3 π}{10} + 2 π n, \frac{7 π}{10} + 2 π n, \frac{11 π}{10} + 2 π n, \frac{19 π}{10} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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