三角学示例

$8 \sin^{2} (\frac{x}{2}) - 10 \sin (\frac{x}{2}) + 3 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

使 $u = \sin (\frac{x}{2})$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $\sin (\frac{x}{2})$ 。

$8 u^{2} - 10 u + 3 = 0$

解题步骤 1.2

分组因式分解。

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解题步骤 1.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 8 \cdot 3 = 24$ 并且它们的和为 $b = - 10$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

从 $- 10 u$ 中分解出因数 $- 10$ 。

$8 u^{2} - 10 u + 3 = 0$

解题步骤 1.2.1.2

把 $- 10$ 重写为 $- 4$ 加 $- 6$

$8 u^{2} + (- 4 - 6) u + 3 = 0$

解题步骤 1.2.1.3

运用分配律。

$8 u^{2} - 4 u - 6 u + 3 = 0$

解题步骤 1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(8 u^{2} - 4 u) - 6 u + 3 = 0$

解题步骤 1.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$4 u (2 u - 1) - 3 (2 u - 1) = 0$

解题步骤 1.2.3

通过因式分解出最大公因数 $2 u - 1$ 来因式分解多项式。

$(2 u - 1) (4 u - 3) = 0$

解题步骤 1.3

使用 $\sin (\frac{x}{2})$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(2 \sin (\frac{x}{2}) - 1) (4 \sin (\frac{x}{2}) - 3) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 \sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0$

$4 \sin (\frac{x}{2}) - 3 = 0$

解题步骤 3

将 $2 \sin (\frac{x}{2}) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $2 \sin (\frac{x}{2}) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 \sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $2 \sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$

解题步骤 3.2.2

将 $2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 3.2.2.2.1.2

用 $\sin (\frac{x}{2})$ 除以 $1$ 。

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}$

解题步骤 3.2.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$\frac{x}{2} = \arcsin (\frac{1}{2})$

解题步骤 3.2.4

化简右边。

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解题步骤 3.2.4.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{π}{6}$

解题步骤 3.2.5

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{6}$

解题步骤 3.2.6

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.6.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.6.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.6.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{6}$

解题步骤 3.2.6.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 \frac{π}{6}$

解题步骤 3.2.6.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.6.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.6.2.1.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = 2 \frac{π}{2 (3)}$

解题步骤 3.2.6.2.1.2

约去公因数。

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.2.6.2.1.3

重写表达式。

$x = \frac{π}{3}$

解题步骤 3.2.7

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{6}$

解题步骤 3.2.8

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.8.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{6})$

解题步骤 3.2.8.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.8.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.8.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.8.2.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{6})$

解题步骤 3.2.8.2.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 (π - \frac{π}{6})$

解题步骤 3.2.8.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.8.2.2.1

化简 $2 (π - \frac{π}{6})$ 。

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解题步骤 3.2.8.2.2.1.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$x = 2 (π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6})$

解题步骤 3.2.8.2.2.1.2

化简项。

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解题步骤 3.2.8.2.2.1.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$x = 2 (\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6})$

解题步骤 3.2.8.2.2.1.2.2

在公分母上合并分子。

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 3.2.8.2.2.1.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.8.2.2.1.2.3.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{2 (3)}$

解题步骤 3.2.8.2.2.1.2.3.2

约去公因数。

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.2.8.2.2.1.2.3.3

重写表达式。

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{3}$

解题步骤 3.2.8.2.2.1.3

化简分子。

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解题步骤 3.2.8.2.2.1.3.1

将 $6$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{6 \cdot π - π}{3}$

解题步骤 3.2.8.2.2.1.3.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{5 π}{3}$

解题步骤 3.2.9

求 $\sin (\frac{x}{2})$ 的周期。

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解题步骤 3.2.9.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.2.9.2

使用周期公式中的 $\frac{1}{2}$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

解题步骤 3.2.9.3

$\frac{1}{2}$ 约为 $0.5$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 3.2.9.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \cdot 2$

解题步骤 3.2.9.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 π$

解题步骤 3.2.10

$\sin (\frac{x}{2})$ 函数的周期为 $4 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $4 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{3} + 4 π n, \frac{5 π}{3} + 4 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

将 $4 \sin (\frac{x}{2}) - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $4 \sin (\frac{x}{2}) - 3$ 设为等于 $0$ 。

$4 \sin (\frac{x}{2}) - 3 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $4 \sin (\frac{x}{2}) - 3 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$4 \sin (\frac{x}{2}) = 3$

解题步骤 4.2.2

将 $4 \sin (\frac{x}{2}) = 3$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $4 \sin (\frac{x}{2}) = 3$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 \sin (\frac{x}{2})}{4} = \frac{3}{4}$

解题步骤 4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 \sin (\frac{x}{2})}{4} = \frac{3}{4}$

解题步骤 4.2.2.2.1.2

用 $\sin (\frac{x}{2})$ 除以 $1$ 。

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{3}{4}$

解题步骤 4.2.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$\frac{x}{2} = \arcsin (\frac{3}{4})$

解题步骤 4.2.4

化简右边。

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解题步骤 4.2.4.1

计算 $\arcsin (\frac{3}{4})$ 。

$\frac{x}{2} = 0.84806207$

解题步骤 4.2.5

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 0.84806207$

解题步骤 4.2.6

化简方程的两边。

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解题步骤 4.2.6.1

化简左边。

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解题步骤 4.2.6.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.6.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 0.84806207$

解题步骤 4.2.6.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 \cdot 0.84806207$

解题步骤 4.2.6.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.6.2.1

将 $2$ 乘以 $0.84806207$ 。

$x = 1.69612415$

解题步骤 4.2.7

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$\frac{x}{2} = (3.14159265) - 0.84806207$

解题步骤 4.2.8

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.8.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 ((3.14159265) - 0.84806207)$

解题步骤 4.2.8.2

化简方程的两边。

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解题步骤 4.2.8.2.1

化简左边。

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解题步骤 4.2.8.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.8.2.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 ((3.14159265) - 0.84806207)$

解题步骤 4.2.8.2.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 ((3.14159265) - 0.84806207)$

解题步骤 4.2.8.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.8.2.2.1

化简 $2 ((3.14159265) - 0.84806207)$ 。

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解题步骤 4.2.8.2.2.1.1

从 $3.14159265$ 中减去 $0.84806207$ 。

$x = 2 \cdot 2.29353057$

解题步骤 4.2.8.2.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2.29353057$ 。

$x = 4.58706114$

解题步骤 4.2.9

求 $\sin (\frac{x}{2})$ 的周期。

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解题步骤 4.2.9.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.2.9.2

使用周期公式中的 $\frac{1}{2}$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

解题步骤 4.2.9.3

$\frac{1}{2}$ 约为 $0.5$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.2.9.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \cdot 2$

解题步骤 4.2.9.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 π$

解题步骤 4.2.10

$\sin (\frac{x}{2})$ 函数的周期为 $4 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $4 π$ 弧度将重复出现。

$x = 1.69612415 + 4 π n, 4.58706114 + 4 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

最终解为使 $(2 \sin (\frac{x}{2}) - 1) (4 \sin (\frac{x}{2}) - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{3} + 4 π n, \frac{5 π}{3} + 4 π n, 1.69612415 + 4 π n, 4.58706114 + 4 π n$ ，对于任意整数 $n$

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