三角学示例

$4 \sin^{2} (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 1

将 $4 \sin^{2} (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 1.1

将 $4 \sin^{2} (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{4}$

解题步骤 1.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{4}$

解题步骤 1.2.1.2

用 $\sin^{2} (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin^{2} (x) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{4}$

解题步骤 1.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$\sin^{2} (x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 1.3.2

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\sin^{2} (x) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.3.2.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\sin^{2} (x) = \frac{\sqrt{2}}{8}$

解题步骤 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{8}}$

解题步骤 3

化简 $\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{8}}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{8}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{\sqrt{2}}}{\sqrt{8}}$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{\sqrt{2}}}{\sqrt{8}}$

解题步骤 3.2

将 $\sqrt{\sqrt{2}}$ 重写为 $\sqrt[4]{2}$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{8}}$

解题步骤 3.3

化简分母。

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解题步骤 3.3.1

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{4 (2)}}$

解题步骤 3.3.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.3.2

从根式下提出各项。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 3.4

将 $\frac{\sqrt[4]{2}}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 3.5

合并和化简分母。

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解题步骤 3.5.1

将 $\frac{\sqrt[4]{2}}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 3.5.2

移动 $\sqrt{2}$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

解题步骤 3.5.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

解题步骤 3.5.4

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

解题步骤 3.5.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.5.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 3.5.7

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 3.5.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.5.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.5.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.5.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.7.4.1

约去公因数。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.5.7.4.2

重写表达式。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

解题步骤 3.5.7.5

计算指数。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.6

化简分子。

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解题步骤 3.6.1

使用 $4$ 的最小常见指标重写表达式。

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解题步骤 3.6.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.6.1.2

将 $2^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $2^{\frac{2}{4}}$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \cdot 2^{\frac{2}{4}}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.6.1.3

将 $2^{\frac{2}{4}}$ 重写为 $\sqrt[4]{2^{2}}$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt[4]{2^{2}}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.6.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2 \cdot 2^{2}}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.6.3

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.3.1

将 $2$ 乘以 $2^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.3.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2^{1} \cdot 2^{2}}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.6.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2^{1 + 2}}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.6.3.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2^{3}}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.7

化简表达式。

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解题步骤 3.7.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2^{3}}}{4}$

解题步骤 3.7.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{8}}{4}$

解题步骤 4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\sin (x) = \frac{\sqrt[4]{8}}{4}$

解题步骤 4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\sin (x) = - \frac{\sqrt[4]{8}}{4}$

解题步骤 4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\sin (x) = \frac{\sqrt[4]{8}}{4}, - \frac{\sqrt[4]{8}}{4}$

解题步骤 5

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (x) = \frac{\sqrt[4]{8}}{4}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt[4]{8}}{4}$

解题步骤 6

在 $\sin (x) = \frac{\sqrt[4]{8}}{4}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{\sqrt[4]{8}}{4})$

解题步骤 6.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.1

计算 $\arcsin (\frac{\sqrt[4]{8}}{4})$ 。

$x = 0.43393925$

解题步骤 6.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = (3.14159265) - 0.43393925$

解题步骤 6.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.4.1

去掉圆括号。

$x = 3.14159265 - 0.43393925$

解题步骤 6.4.2

去掉圆括号。

$x = (3.14159265) - 0.43393925$

解题步骤 6.4.3

从 $3.14159265$ 中减去 $0.43393925$ 。

$x = 2.70765339$

解题步骤 6.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 6.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 6.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 6.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 6.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 0.43393925 + 2 π n, 2.70765339 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

在 $\sin (x) = - \frac{\sqrt[4]{8}}{4}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt[4]{8}}{4})$

解题步骤 7.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.1

计算 $\arcsin (- \frac{\sqrt[4]{8}}{4})$ 。

$x = - 0.43393925$

解题步骤 7.3

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 (3.14159265) + 0.43393925 + 3.14159265$

解题步骤 7.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 7.4.1

从 $2 (3.14159265) + 0.43393925 + 3.14159265$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 (3.14159265) + 0.43393925 + 3.14159265 - 2 π$

解题步骤 7.4.2

得出的角 $3.5755319$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 (3.14159265) + 0.43393925 + 3.14159265$ 共边。

$x = 3.5755319$

解题步骤 7.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 7.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 7.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 7.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 7.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 7.6

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 7.6.1

将 $2 π$ 加到 $- 0.43393925$ 以求正角。

$- 0.43393925 + 2 π$

解题步骤 7.6.2

从 $2 π$ 中减去 $0.43393925$ 。

$5.84924605$

解题步骤 7.6.3

列出新角。

$x = 5.84924605$

解题步骤 7.7

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 3.5755319 + 2 π n, 5.84924605 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

列出所有解。

$x = 0.43393925 + 2 π n, 2.70765339 + 2 π n, 3.5755319 + 2 π n, 5.84924605 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

合并解集。

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解题步骤 9.1

将 $0.43393925 + 2 π n$ 和 $3.5755319 + 2 π n$ 合并为 $0.43393925 + π n$ 。

$x = 0.43393925 + π n, 2.70765339 + 2 π n, 5.84924605 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9.2

将 $2.70765339 + 2 π n$ 和 $5.84924605 + 2 π n$ 合并为 $2.70765339 + π n$ 。

$x = 0.43393925 + π n, 2.70765339 + π n$ ，对于任意整数 $n$

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