三角学示例

$4 \sin^{2} (2 x) = 1$

解题步骤 1

将 $4 \sin^{2} (2 x) = 1$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 1.1

将 $4 \sin^{2} (2 x) = 1$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 \sin^{2} (2 x)}{4} = \frac{1}{4}$

解题步骤 1.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 \sin^{2} (2 x)}{4} = \frac{1}{4}$

解题步骤 1.2.1.2

用 $\sin^{2} (2 x)$ 除以 $1$ 。

$\sin^{2} (2 x) = \frac{1}{4}$

解题步骤 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

解题步骤 3

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\sqrt{\frac{1}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ 。

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 3.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\sin (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

解题步骤 3.3

化简分母。

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解题步骤 3.3.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\sin (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 3.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\sin (2 x) = \pm \frac{1}{2}$

解题步骤 4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

解题步骤 4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

解题步骤 5

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

$\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 6

在 $\sin (2 x) = \frac{1}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

解题步骤 6.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$2 x = \frac{π}{6}$

解题步骤 6.3

将 $2 x = \frac{π}{6}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 6.3.1

将 $2 x = \frac{π}{6}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

解题步骤 6.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

解题步骤 6.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

解题步骤 6.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 6.3.3.2

乘以 $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 6.3.3.2.1

将 $\frac{π}{6}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

解题步骤 6.3.3.2.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{π}{12}$

解题步骤 6.4

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$2 x = π - \frac{π}{6}$

解题步骤 6.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.5.1

化简。

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解题步骤 6.5.1.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 6.5.1.2

组合 $π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 6.5.1.3

在公分母上合并分子。

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 6.5.1.4

从 $π \cdot 6$ 中减去 $π$ 。

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解题步骤 6.5.1.4.1

将 $π$ 和 $6$ 重新排序。

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

解题步骤 6.5.1.4.2

从 $6 \cdot π$ 中减去 $π$ 。

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

解题步骤 6.5.2

将 $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 6.5.2.1

将 $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

解题步骤 6.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.5.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

解题步骤 6.5.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

解题步骤 6.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.5.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 6.5.2.3.2

乘以 $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 6.5.2.3.2.1

将 $\frac{5 π}{6}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

解题步骤 6.5.2.3.2.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{5 π}{12}$

解题步骤 6.6

求 $\sin (2 x)$ 的周期。

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解题步骤 6.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.6.2

使用周期公式中的 $2$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

解题步骤 6.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 6.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.6.4.1

约去公因数。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 6.6.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 6.7

$\sin (2 x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

在 $\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$2 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

解题步骤 7.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.1

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ 的准确值为 $- \frac{π}{6}$ 。

$2 x = - \frac{π}{6}$

解题步骤 7.3

将 $2 x = - \frac{π}{6}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 7.3.1

将 $2 x = - \frac{π}{6}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

解题步骤 7.3.2

化简左边。

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解题步骤 7.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

解题步骤 7.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

解题步骤 7.3.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 7.3.3.2

乘以 $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 7.3.3.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{π}{6}$ 。

$x = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

解题步骤 7.3.3.2.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$x = - \frac{π}{12}$

解题步骤 7.4

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

解题步骤 7.5

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 7.5.1

从 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

解题步骤 7.5.2

得出的角 $\frac{7 π}{6}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 共边。

$2 x = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 7.5.3

将 $2 x = \frac{7 π}{6}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 7.5.3.1

将 $2 x = \frac{7 π}{6}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

解题步骤 7.5.3.2

化简左边。

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解题步骤 7.5.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

解题步骤 7.5.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

解题步骤 7.5.3.3

化简右边。

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解题步骤 7.5.3.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 7.5.3.3.2

乘以 $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 7.5.3.3.2.1

将 $\frac{7 π}{6}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

解题步骤 7.5.3.3.2.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{7 π}{12}$

解题步骤 7.6

求 $\sin (2 x)$ 的周期。

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解题步骤 7.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 7.6.2

使用周期公式中的 $2$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

解题步骤 7.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 7.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.6.4.1

约去公因数。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 7.6.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 7.7

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 7.7.1

将 $π$ 加到 $- \frac{π}{12}$ 以求正角。

$- \frac{π}{12} + π$

解题步骤 7.7.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{12}{12}$ 。

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

解题步骤 7.7.3

合并分数。

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解题步骤 7.7.3.1

组合 $π$ 和 $\frac{12}{12}$ 。

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

解题步骤 7.7.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

解题步骤 7.7.4

化简分子。

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解题步骤 7.7.4.1

将 $12$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

解题步骤 7.7.4.2

从 $12 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{11 π}{12}$

解题步骤 7.7.5

列出新角。

$x = \frac{11 π}{12}$

解题步骤 7.8

$\sin (2 x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

列出所有解。

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n, \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

合并解集。

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解题步骤 9.1

将 $\frac{π}{12} + π n$ 和 $\frac{7 π}{12} + π n$ 合并为 $\frac{π}{12} + \frac{π n}{2}$ 。

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9.2

将 $\frac{5 π}{12} + π n$ 和 $\frac{11 π}{12} + π n$ 合并为 $\frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}$ 。

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

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