三角学示例

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sqrt{2} \cos (x) + 2 = 0$

解题步骤 1

代入 $u$ 替换 $\cos (x)$ 。

$4 {(u)}^{2} - 4 \sqrt{2} u + 2 = 0$

解题步骤 2

从 $4 u^{2} - 4 \sqrt{2} u + 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.1

从 $4 u^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 u^{2}) - 4 \sqrt{2} u + 2 = 0$

解题步骤 2.2

从 $- 4 \sqrt{2} u$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 u^{2}) + 2 (- 2 \sqrt{2} u) + 2 = 0$

解题步骤 2.3

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 u^{2}) + 2 (- 2 \sqrt{2} u) + 2 (1) = 0$

解题步骤 2.4

从 $2 (2 u^{2}) + 2 (- 2 \sqrt{2} u)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u) + 2 (1) = 0$

解题步骤 2.5

从 $2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1) = 0$

解题步骤 3

将 $2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1) = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.1

将 $2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1) = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 3.2.1.2

用 $2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1$ 除以 $1$ 。

$2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1 = \frac{0}{2}$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1 = 0$

解题步骤 4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5

将 $a = 2$ 、 $b = - 2 \sqrt{2}$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 2 \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

对 $- 2 \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.1.2

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.1.3

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 6.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.3.4.1

约去公因数。

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.1.3.4.2

重写表达式。

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.1.3.5

计算指数。

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.1.4

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.1.5

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ 。

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解题步骤 6.1.5.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.1.5.2

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 8}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.1.6

从 $8$ 中减去 $8$ 。

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.1.7

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm 0}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.1.9

$2 \sqrt{2}$ plus or minus $0$ is $2 \sqrt{2}$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{2 \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 6.3

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1

从 $2 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$u = \frac{2 (\sqrt{2})}{4}$

解题步骤 6.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$u = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.3.2.2

约去公因数。

$u = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.3.2.3

重写表达式。

$u = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7

代入 $\cos (x)$ 替换 $u$ 。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 8

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 9

化简右边。

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解题步骤 9.1

$\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 10

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

解题步骤 11

化简 $2 π - \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 11.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 11.2

合并分数。

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解题步骤 11.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 11.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 11.3

化简分子。

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解题步骤 11.3.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{8 π - π}{4}$

解题步骤 11.3.2

从 $8 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{7 π}{4}$

解题步骤 12

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 12.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 12.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 12.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 12.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 13

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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