三角学示例

$\sin (x) \cos (\frac{π}{7}) - \sin (\frac{π}{7}) \cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

计算 $\cos (\frac{π}{7})$ 。

$\sin (x) \cdot 0.90096886 - \sin (\frac{π}{7}) \cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 1.2

将 $0.90096886$ 移到 $\sin (x)$ 的左侧。

$0.90096886 \cdot \sin (x) - \sin (\frac{π}{7}) \cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 1.3

计算 $\sin (\frac{π}{7})$ 。

$0.90096886 \sin (x) - 1 \cdot (0.43388373 \cos (x)) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 1.4

将 $- 1$ 乘以 $0.43388373$ 。

$0.90096886 \sin (x) - 0.43388373 \cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2

使用恒等式求解方程。在该恒等式中， $θ$ 表示在图像上画出点 $(a, b)$ 时所得形成的角，因此可以使用 $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ 来求得。

当 $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 和 $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ 时， $a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$

解题步骤 3

建立方程式以求 $θ$ 的值。

$\tan^{-1} (- \frac{0.43388373}{0.90096886})$

解题步骤 4

取逆正切来求解方程 $θ$ 。

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解题步骤 4.1

用 $0.43388373$ 除以 $0.90096886$ 。

$θ = \tan^{-1} (- 1 \cdot 0.48157461)$

解题步骤 4.2

将 $- 1$ 乘以 $0.48157461$ 。

$θ = \tan^{-1} (- 0.48157461)$

解题步骤 4.3

计算 $\tan^{-1} (- 0.48157461)$ 。

$θ = - \frac{π}{7}$

解题步骤 5

求解出 $R$ 的值。

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解题步骤 5.1

对 $0.90096886$ 进行 $2$ 次方运算。

$R = \sqrt{0.8117449 + {(- 0.43388373)}^{2}}$

解题步骤 5.2

对 $- 0.43388373$ 进行 $2$ 次方运算。

$R = \sqrt{0.8117449 + 0.18825509}$

解题步骤 5.3

将 $0.8117449$ 和 $0.18825509$ 相加。

$R = \sqrt{1}$

解题步骤 6

将已知值代入方程中。

$(\sqrt{1}) \sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7

将 $\sqrt{1} \sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 中的每一项除以 $\sqrt{1}$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $\sqrt{1} \sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 中的每一项都除以 $\sqrt{1}$ 。

$\frac{\sqrt{1} \sin (x - \frac{π}{7})}{\sqrt{1}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1}}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $\sqrt{1}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{1} \sin (x - \frac{π}{7})}{\sqrt{1}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1}}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $\sin (x - \frac{π}{7})$ 除以 $1$ 。

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1}}$

解题步骤 7.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}}$

解题步骤 7.3.2

将 $\frac{1}{\sqrt{1}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}}$ 。

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{1}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}})$

解题步骤 7.3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 7.3.3.1

将 $\frac{1}{\sqrt{1}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}}$ 。

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1} \sqrt{1}}$

解题步骤 7.3.3.2

对 $\sqrt{1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{1} \sqrt{1}}$

解题步骤 7.3.3.3

对 $\sqrt{1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{1} {\sqrt{1}}^{1}}$

解题步骤 7.3.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{1 + 1}}$

解题步骤 7.3.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{2}}$

解题步骤 7.3.3.6

将 ${\sqrt{1}}^{2}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 7.3.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1}$ 重写成 $1^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{(1^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 7.3.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 7.3.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.3.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.3.6.4.1

约去公因数。

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.3.3.6.4.2

重写表达式。

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{1}}$

解题步骤 7.3.3.6.5

计算指数。

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1}$

解题步骤 7.3.4

计算根。

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{1}$

解题步骤 7.3.5

用 $1$ 除以 $1$ 。

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1$

解题步骤 7.3.6

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 8

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x - \frac{π}{7} = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 9

化简右边。

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解题步骤 9.1

$\sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$x - \frac{π}{7} = \frac{π}{4}$

解题步骤 10

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 10.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{7}$ 。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π}{7}$

解题步骤 10.2

要将 $\frac{π}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{7}{7} + \frac{π}{7}$

解题步骤 10.3

要将 $\frac{π}{7}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{7}{7} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 10.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $28$ 的形式。

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解题步骤 10.4.1

将 $\frac{π}{4}$ 乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$x = \frac{π \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 10.4.2

将 $4$ 乘以 $7$ 。

$x = \frac{π \cdot 7}{28} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 10.4.3

将 $\frac{π}{7}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{π \cdot 7}{28} + \frac{π \cdot 4}{7 \cdot 4}$

解题步骤 10.4.4

将 $7$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{π \cdot 7}{28} + \frac{π \cdot 4}{28}$

解题步骤 10.5

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 7 + π \cdot 4}{28}$

解题步骤 10.6

化简分子。

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解题步骤 10.6.1

将 $7$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{7 \cdot π + π \cdot 4}{28}$

解题步骤 10.6.2

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{7 π + 4 \cdot π}{28}$

解题步骤 10.6.3

将 $7 π$ 和 $4 π$ 相加。

$x = \frac{11 π}{28}$

解题步骤 11

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x - \frac{π}{7} = π - \frac{π}{4}$

解题步骤 12

求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

化简 $π - \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 12.1.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x - \frac{π}{7} = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 12.1.2

合并分数。

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解题步骤 12.1.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x - \frac{π}{7} = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 12.1.2.2

在公分母上合并分子。

$x - \frac{π}{7} = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 12.1.3

化简分子。

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解题步骤 12.1.3.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$x - \frac{π}{7} = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

解题步骤 12.1.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x - \frac{π}{7} = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 12.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 12.2.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{7}$ 。

$x = \frac{3 π}{4} + \frac{π}{7}$

解题步骤 12.2.2

要将 $\frac{3 π}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{7}{7} + \frac{π}{7}$

解题步骤 12.2.3

要将 $\frac{π}{7}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{7}{7} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 12.2.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $28$ 的形式。

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解题步骤 12.2.4.1

将 $\frac{3 π}{4}$ 乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$x = \frac{3 π \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 12.2.4.2

将 $4$ 乘以 $7$ 。

$x = \frac{3 π \cdot 7}{28} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 12.2.4.3

将 $\frac{π}{7}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{3 π \cdot 7}{28} + \frac{π \cdot 4}{7 \cdot 4}$

解题步骤 12.2.4.4

将 $7$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{3 π \cdot 7}{28} + \frac{π \cdot 4}{28}$

解题步骤 12.2.5

在公分母上合并分子。

$x = \frac{3 π \cdot 7 + π \cdot 4}{28}$

解题步骤 12.2.6

化简分子。

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解题步骤 12.2.6.1

将 $7$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{21 π + π \cdot 4}{28}$

解题步骤 12.2.6.2

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{21 π + 4 \cdot π}{28}$

解题步骤 12.2.6.3

将 $21 π$ 和 $4 π$ 相加。

$x = \frac{25 π}{28}$

解题步骤 13

求 $\sin (x - \frac{π}{7})$ 的周期。

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解题步骤 13.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 13.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 13.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 13.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 14

$\sin (x - \frac{π}{7})$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{11 π}{28} + 2 π n, \frac{25 π}{28} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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