三角学示例

$\sin (2 x + \sqrt{3}) \sin (x) = 0$

解题步骤 1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\sin (2 x + \sqrt{3}) = 0$

$\sin (x) = 0$

解题步骤 2

将 $\sin (2 x + \sqrt{3})$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

将 $\sin (2 x + \sqrt{3})$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (2 x + \sqrt{3}) = 0$

解题步骤 2.2

求解 $x$ 的 $\sin (2 x + \sqrt{3}) = 0$ 。

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解题步骤 2.2.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$2 x + \sqrt{3} = \arcsin (0)$

解题步骤 2.2.2

化简右边。

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解题步骤 2.2.2.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$2 x + \sqrt{3} = 0$

解题步骤 2.2.3

从等式两边同时减去 $\sqrt{3}$ 。

$2 x = - \sqrt{3}$

解题步骤 2.2.4

将 $2 x = - \sqrt{3}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.2.4.1

将 $2 x = - \sqrt{3}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.2.4.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.2.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.2.4.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.4.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.2.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$2 x + \sqrt{3} = π - 0$

解题步骤 2.2.6

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.6.1

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$2 x + \sqrt{3} = π$

解题步骤 2.2.6.2

从等式两边同时减去 $\sqrt{3}$ 。

$2 x = π - \sqrt{3}$

解题步骤 2.2.6.3

将 $2 x = π - \sqrt{3}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.2.6.3.1

将 $2 x = π - \sqrt{3}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2} + \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.2.6.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.6.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.6.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2} + \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.2.6.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{π}{2} + \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.2.6.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.6.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = \frac{π}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.2.7

求 $\sin (2 x + \sqrt{3})$ 的周期。

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解题步骤 2.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.2.7.2

使用周期公式中的 $2$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

解题步骤 2.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 2.2.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.7.4.1

约去公因数。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 2.2.7.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 2.2.8

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 2.2.8.1

将 $π$ 加到 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 以求正角。

$- \frac{\sqrt{3}}{2} + π$

解题步骤 2.2.8.2

列出新角。

$x = - \frac{\sqrt{3}}{2} + π$

解题步骤 2.2.9

$\sin (2 x + \sqrt{3})$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = - \frac{\sqrt{3}}{2} + π + π n, \frac{π}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + π + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $\sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.2.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - 0$

解题步骤 3.2.4

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = π$

解题步骤 3.2.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 3.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 3.2.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

最终解为使 $\sin (2 x + \sqrt{3}) \sin (x) = 0$ 成立的所有值。

$x = - \frac{\sqrt{3}}{2} + π + π n, \frac{π}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + π + π n, 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

将 $2 π n$ 和 $π + 2 π n$ 合并为 $π n$ 。

$x = - \frac{\sqrt{3}}{2} + π + π n, \frac{π}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + π + π n, π n$ ，对于任意整数 $n$

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