三角学示例

$\tan (2 x) - \tan (x) = 0$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

使用正切倍角公式。

$\frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)} - \tan (x) = 0$

解题步骤 1.2

化简分母。

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解题步骤 1.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{2 \tan (x)}{1^{2} - \tan^{2} (x)} - \tan (x) = 0$

解题步骤 1.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \tan (x)$ 。

$\frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - \tan (x) = 0$

解题步骤 2

从 $\frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - \tan (x)$ 中分解出因数 $\tan (x)$ 。

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解题步骤 2.1

从 $\frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}$ 中分解出因数 $\tan (x)$ 。

$\tan (x) \frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - \tan (x) = 0$

解题步骤 2.2

从 $- \tan (x)$ 中分解出因数 $\tan (x)$ 。

$\tan (x) \frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} + \tan (x) \cdot - 1 = 0$

解题步骤 2.3

从 $\tan (x) \frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} + \tan (x) \cdot - 1$ 中分解出因数 $\tan (x)$ 。

$\tan (x) (\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\tan (x) = 0$

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$

解题步骤 4

将 $\tan (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\tan (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\tan (x) = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $\tan (x) = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (0)$

解题步骤 4.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.1

$\arctan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 4.2.3

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + 0$

解题步骤 4.2.4

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$x = π$

解题步骤 4.2.5

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 4.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 4.2.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 4.2.6

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = π n, π + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

将 $\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1$ 设为等于 $0$ 。

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 5.2.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)), 1, 1$

解题步骤 5.2.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$

解题步骤 5.2.2

将 $\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$ 中的每一项乘以 $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ 以消去分数。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$ 中的每一项乘以 $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ 。

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) - ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

解题步骤 5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.2.1.1

约去 $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) - ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

解题步骤 5.2.2.2.1.1.2

重写表达式。

$2 - ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

解题步骤 5.2.2.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ 。

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解题步骤 5.2.2.2.1.2.1

运用分配律。

$2 - (1 (1 - \tan (x)) + \tan (x) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

解题步骤 5.2.2.2.1.2.2

运用分配律。

$2 - (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

解题步骤 5.2.2.2.1.2.3

运用分配律。

$2 - (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

解题步骤 5.2.2.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.2.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.2.1.3.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$2 - (1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

解题步骤 5.2.2.2.1.3.1.2

将 $- \tan (x)$ 乘以 $1$ 。

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

解题步骤 5.2.2.2.1.3.1.3

将 $\tan (x)$ 乘以 $1$ 。

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

解题步骤 5.2.2.2.1.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) - \tan (x) \tan (x)) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

解题步骤 5.2.2.2.1.3.1.5

通过指数相加将 $\tan (x)$ 乘以 $\tan (x)$ 。

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解题步骤 5.2.2.2.1.3.1.5.1

移动 $\tan (x)$ 。

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) - (\tan (x) \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

解题步骤 5.2.2.2.1.3.1.5.2

将 $\tan (x)$ 乘以 $\tan (x)$ 。

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) - \tan^{2} (x)) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

解题步骤 5.2.2.2.1.3.2

将 $- \tan (x)$ 和 $\tan (x)$ 相加。

$2 - (1 + 0 - \tan^{2} (x)) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

解题步骤 5.2.2.2.1.3.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$2 - (1 - \tan^{2} (x)) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

解题步骤 5.2.2.2.1.4

运用分配律。

$2 - 1 \cdot 1 - - \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

解题步骤 5.2.2.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 - 1 - - \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

解题步骤 5.2.2.2.1.6

乘以 $- - \tan^{2} (x)$ 。

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解题步骤 5.2.2.2.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 - 1 + 1 \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

解题步骤 5.2.2.2.1.6.2

将 $\tan^{2} (x)$ 乘以 $1$ 。

$2 - 1 + \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

解题步骤 5.2.2.2.2

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$1 + \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

解题步骤 5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.3.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ 。

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解题步骤 5.2.2.3.1.1

运用分配律。

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 (1 - \tan (x)) + \tan (x) (1 - \tan (x)))$

解题步骤 5.2.2.3.1.2

运用分配律。

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) (1 - \tan (x)))$

解题步骤 5.2.2.3.1.3

运用分配律。

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x)))$

解题步骤 5.2.2.3.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.3.2.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x)))$

解题步骤 5.2.2.3.2.1.2

将 $- \tan (x)$ 乘以 $1$ 。

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x)))$

解题步骤 5.2.2.3.2.1.3

将 $\tan (x)$ 乘以 $1$ 。

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x)))$

解题步骤 5.2.2.3.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) - \tan (x) \tan (x))$

解题步骤 5.2.2.3.2.1.5

通过指数相加将 $\tan (x)$ 乘以 $\tan (x)$ 。

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解题步骤 5.2.2.3.2.1.5.1

移动 $\tan (x)$ 。

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) - (\tan (x) \tan (x)))$

解题步骤 5.2.2.3.2.1.5.2

将 $\tan (x)$ 乘以 $\tan (x)$ 。

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) - \tan^{2} (x))$

解题步骤 5.2.2.3.2.2

将 $- \tan (x)$ 和 $\tan (x)$ 相加。

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 + 0 - \tan^{2} (x))$

解题步骤 5.2.2.3.2.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan^{2} (x))$

解题步骤 5.2.2.3.3

将 $0$ 乘以 $1 - \tan^{2} (x)$ 。

$1 + \tan^{2} (x) = 0$

解题步骤 5.2.3

求解方程。

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解题步骤 5.2.3.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\tan^{2} (x) = - 1$

解题步骤 5.2.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 1}$

解题步骤 5.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$\tan (x) = \pm i$

解题步骤 5.2.3.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.2.3.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\tan (x) = i$

解题步骤 5.2.3.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\tan (x) = - i$

解题步骤 5.2.3.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\tan (x) = i, - i$

解题步骤 5.2.4

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\tan (x) = i$

$\tan (x) = - i$

解题步骤 5.2.5

在 $\tan (x) = i$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 5.2.5.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (i)$

解题步骤 5.2.5.2

$\arctan (i)$ 的反正切无意义。

无定义

解题步骤 5.2.6

在 $\tan (x) = - i$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 5.2.6.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (- i)$

解题步骤 5.2.6.2

$\arctan (- i)$ 的反正切无意义。

无定义

解题步骤 5.2.7

列出所有解。

无解

解题步骤 6

最终解为使 $\tan (x) (\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = π n, π + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

合并答案。

$x = π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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