三角学示例

$\tan (2 x) = \frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

解题步骤 1

两边同时乘以 $1 - \tan^{2} (x)$ 。

$\tan (2 x) (1 - \tan^{2} (x)) = \frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)} (1 - \tan^{2} (x))$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

化简左边。

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解题步骤 2.1.1

化简 $\tan (2 x) (1 - \tan^{2} (x))$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

运用分配律。

$\tan (2 x) \cdot 1 + \tan (2 x) (- \tan^{2} (x)) = \frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)} (1 - \tan^{2} (x))$

解题步骤 2.1.1.2

化简表达式。

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解题步骤 2.1.1.2.1

将 $\tan (2 x)$ 乘以 $1$ 。

$\tan (2 x) + \tan (2 x) (- \tan^{2} (x)) = \frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)} (1 - \tan^{2} (x))$

解题步骤 2.1.1.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\tan (2 x) - \tan (2 x) \tan^{2} (x) = \frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)} (1 - \tan^{2} (x))$

解题步骤 2.2

化简右边。

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解题步骤 2.2.1

约去 $1 - \tan^{2} (x)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$\tan (2 x) - \tan (2 x) \tan^{2} (x) = \frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)} (1 - \tan^{2} (x))$

解题步骤 2.2.1.2

重写表达式。

$\tan (2 x) - \tan (2 x) \tan^{2} (x) = 2 \tan (x)$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

化简左边。

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解题步骤 3.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1.1

将 $\tan (2 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} - \tan (2 x) \tan^{2} (x) = 2 \tan (x)$

解题步骤 3.1.1.2

将 $\tan (2 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} - \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \tan^{2} (x) = 2 \tan (x)$

解题步骤 3.1.1.3

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} - \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} = 2 \tan (x)$

解题步骤 3.1.1.4

对 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} - \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 2 \tan (x)$

解题步骤 3.1.1.5

将 $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 乘以 $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ 。

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} - \frac{\sin^{2} (x) \sin (2 x)}{\cos^{2} (x) \cos (2 x)} = 2 \tan (x)$

解题步骤 3.1.1.6

化简分子。

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解题步骤 3.1.1.6.1

使用正弦倍角公式。

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} - \frac{\sin^{2} (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)}{\cos^{2} (x) \cos (2 x)} = 2 \tan (x)$

解题步骤 3.1.1.6.2

合并指数。

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解题步骤 3.1.1.6.2.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} - \frac{2 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x)}{\cos^{2} (x) \cos (2 x)} = 2 \tan (x)$

解题步骤 3.1.1.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} - \frac{2 {\sin (x)}^{2 + 1} \cos (x)}{\cos^{2} (x) \cos (2 x)} = 2 \tan (x)$

解题步骤 3.1.1.6.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} - \frac{2 \sin^{3} (x) \cos (x)}{\cos^{2} (x) \cos (2 x)} = 2 \tan (x)$

解题步骤 3.1.1.7

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $2 \cos^{2} (x) - 1$ 。

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} - \frac{2 \sin^{3} (x) \cos (x)}{\cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x) - 1)} = 2 \tan (x)$

解题步骤 3.1.1.8

约去 $\cos (x)$ 和 $\cos^{2} (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1.8.1

从 $2 \sin^{3} (x) \cos (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} - \frac{\cos (x) (2 \sin^{3} (x))}{\cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x) - 1)} = 2 \tan (x)$

解题步骤 3.1.1.8.2

约去公因数。

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解题步骤 3.1.1.8.2.1

从 $\cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x) - 1)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} - \frac{\cos (x) (2 \sin^{3} (x))}{\cos (x) (\cos (x) (2 \cos^{2} (x) - 1))} = 2 \tan (x)$

解题步骤 3.1.1.8.2.2

约去公因数。

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} - \frac{\cos (x) (2 \sin^{3} (x))}{\cos (x) (\cos (x) (2 \cos^{2} (x) - 1))} = 2 \tan (x)$

解题步骤 3.1.1.8.2.3

重写表达式。

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} - \frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x) (2 \cos^{2} (x) - 1)} = 2 \tan (x)$

解题步骤 3.1.1.9

使用余弦倍角公式。

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} - \frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos (2 x)} = 2 \tan (x)$

解题步骤 3.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.1

化简 $2 \tan (x)$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} - \frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos (2 x)} = 2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.2.1.2

组合 $2$ 和 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} - \frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos (2 x)} = \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.3

等式两边同时乘以 $\cos (2 x)$ 。

$\cos (2 x) (\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} - \frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos (2 x)}) = \cos (2 x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.4

运用分配律。

$\cos (2 x) \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \cos (2 x) (- \frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos (2 x)}) = \cos (2 x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.5

约去 $\cos (2 x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1

约去公因数。

$\cos (2 x) \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \cos (2 x) (- \frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos (2 x)}) = \cos (2 x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.5.2

重写表达式。

$\sin (2 x) + \cos (2 x) (- \frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos (2 x)}) = \cos (2 x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.6

使用乘法的交换性质重写。

$\sin (2 x) - \cos (2 x) \frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos (2 x)} = \cos (2 x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.7

约去 $\cos (2 x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.1

从 $- \cos (2 x)$ 中分解出因数 $\cos (2 x)$ 。

$\sin (2 x) + \cos (2 x) \cdot - 1 \frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos (2 x)} = \cos (2 x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.7.2

从 $\cos (x) \cos (2 x)$ 中分解出因数 $\cos (2 x)$ 。

$\sin (2 x) + \cos (2 x) \cdot - 1 \frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (2 x) \cos (x)} = \cos (2 x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.7.3

约去公因数。

$\sin (2 x) + \cos (2 x) \cdot - 1 \frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (2 x) \cos (x)} = \cos (2 x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.7.4

重写表达式。

$\sin (2 x) - \frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} = \cos (2 x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.8

组合 $\cos (2 x)$ 和 $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$\sin (2 x) - \frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos (2 x) (2 \sin (x))}{\cos (x)}$

解题步骤 3.9

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$\sin (2 x) - \frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} = \frac{2 \cos (2 x) \sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.10

等式两边同时乘以 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) (\sin (2 x) - \frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \frac{2 \cos (2 x) \sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.11

运用分配律。

$\cos (x) \sin (2 x) + \cos (x) (- \frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \frac{2 \cos (2 x) \sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.12

使用乘法的交换性质重写。

$\cos (x) \sin (2 x) - \cos (x) \frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \frac{2 \cos (2 x) \sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.13

化简每一项。

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解题步骤 3.13.1

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.13.1.1

从 $- \cos (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cdot - 1 \frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \frac{2 \cos (2 x) \sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.13.1.2

约去公因数。

$\cos (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cdot - 1 \frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \frac{2 \cos (2 x) \sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.13.1.3

重写表达式。

$\cos (x) \sin (2 x) - (2 \sin^{3} (x)) = \cos (x) \frac{2 \cos (2 x) \sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.13.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\cos (x) \sin (2 x) - 2 \sin^{3} (x) = \cos (x) \frac{2 \cos (2 x) \sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.14

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.14.1

约去公因数。

$\cos (x) \sin (2 x) - 2 \sin^{3} (x) = \cos (x) \frac{2 \cos (2 x) \sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.14.2

重写表达式。

$\cos (x) \sin (2 x) - 2 \sin^{3} (x) = 2 \cos (2 x) \sin (x)$

解题步骤 3.15

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $1 - 2 \sin^{2} (x)$ 。

$\cos (x) \sin (2 x) - 2 \sin^{3} (x) = 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) \sin (x)$

解题步骤 3.16

从等式两边同时减去 $2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) \sin (x)$ 。

$\cos (x) \sin (2 x) - 2 \sin^{3} (x) - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) \sin (x) = 0$

解题步骤 3.17

化简左边。

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解题步骤 3.17.1

化简 $\cos (x) \sin (2 x) - 2 \sin^{3} (x) - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) \sin (x)$ 。

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解题步骤 3.17.1.1

化简项。

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解题步骤 3.17.1.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.17.1.1.1.1

使用正弦倍角公式。

$\cos (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{3} (x) - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) \sin (x) = 0$

解题步骤 3.17.1.1.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$2 \cos (x) \sin (x) \cos (x) - 2 \sin^{3} (x) - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) \sin (x) = 0$

解题步骤 3.17.1.1.1.3

乘以 $2 \cos (x) \sin (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 3.17.1.1.1.3.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (\cos^{1} (x) \cos (x)) \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) \sin (x) = 0$

解题步骤 3.17.1.1.1.3.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) \sin (x) = 0$

解题步骤 3.17.1.1.1.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 {\cos (x)}^{1 + 1} \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) \sin (x) = 0$

解题步骤 3.17.1.1.1.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 \cos^{2} (x) \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) \sin (x) = 0$

解题步骤 3.17.1.1.1.4

运用分配律。

$2 \cos^{2} (x) \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) + (- 2 \cdot 1 - 2 (- 2 \sin^{2} (x))) \sin (x) = 0$

解题步骤 3.17.1.1.1.5

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$2 \cos^{2} (x) \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) + (- 2 - 2 (- 2 \sin^{2} (x))) \sin (x) = 0$

解题步骤 3.17.1.1.1.6

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$2 \cos^{2} (x) \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) + (- 2 + 4 \sin^{2} (x)) \sin (x) = 0$

解题步骤 3.17.1.1.1.7

运用分配律。

$2 \cos^{2} (x) \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + 4 \sin^{2} (x) \sin (x) = 0$

解题步骤 3.17.1.1.1.8

通过指数相加将 $\sin^{2} (x)$ 乘以 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 3.17.1.1.1.8.1

移动 $\sin (x)$ 。

$2 \cos^{2} (x) \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + 4 (\sin (x) \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 3.17.1.1.1.8.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $\sin^{2} (x)$ 。

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解题步骤 3.17.1.1.1.8.2.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \cos^{2} (x) \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + 4 (\sin^{1} (x) \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 3.17.1.1.1.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \cos^{2} (x) \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + 4 {\sin (x)}^{1 + 2} = 0$

解题步骤 3.17.1.1.1.8.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$2 \cos^{2} (x) \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + 4 \sin^{3} (x) = 0$

解题步骤 3.17.1.1.2

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 3.17.1.1.2.1

从 $2 \cos^{2} (x) \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + 4 \sin^{3} (x)$ 中分解出因数 $2 \sin (x)$ 。

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解题步骤 3.17.1.1.2.1.1

从 $2 \cos^{2} (x) \sin (x)$ 中分解出因数 $2 \sin (x)$ 。

$2 \sin (x) (\cos^{2} (x)) - 2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + 4 \sin^{3} (x) = 0$

解题步骤 3.17.1.1.2.1.2

从 $- 2 \sin^{3} (x)$ 中分解出因数 $2 \sin (x)$ 。

$2 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) + 4 \sin^{3} (x) = 0$

解题步骤 3.17.1.1.2.1.3

从 $- 2 \sin (x)$ 中分解出因数 $2 \sin (x)$ 。

$2 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) (- \sin^{2} (x)) + 2 \sin (x) (- 1) + 4 \sin^{3} (x) = 0$

解题步骤 3.17.1.1.2.1.4

从 $4 \sin^{3} (x)$ 中分解出因数 $2 \sin (x)$ 。

$2 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) (- \sin^{2} (x)) + 2 \sin (x) (- 1) + 2 \sin (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 3.17.1.1.2.1.5

从 $2 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) (- \sin^{2} (x))$ 中分解出因数 $2 \sin (x)$ 。

$2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 2 \sin (x) (- 1) + 2 \sin (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 3.17.1.1.2.1.6

从 $2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 2 \sin (x) (- 1)$ 中分解出因数 $2 \sin (x)$ 。

$2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) - 1) + 2 \sin (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 3.17.1.1.2.1.7

从 $2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) - 1) + 2 \sin (x) (2 \sin^{2} (x))$ 中分解出因数 $2 \sin (x)$ 。

$2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 3.17.1.1.2.2

化简表达式。

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解题步骤 3.17.1.1.2.2.1

移动 $- 1$ 。

$2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - 1 - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 3.17.1.1.2.2.2

将 $\cos^{2} (x)$ 和 $- 1$ 重新排序。

$2 \sin (x) (- 1 + \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 3.17.1.1.2.3

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$2 \sin (x) (- 1 (1) + \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 3.17.1.1.2.4

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$2 \sin (x) (- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 3.17.1.1.2.5

从 $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$2 \sin (x) (- 1 (1 - \cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 3.17.1.1.2.6

将 $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ 重写为 $- (1 - \cos^{2} (x))$ 。

$2 \sin (x) (- (1 - \cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 3.17.1.2

使用勾股恒等式。

$2 \sin (x) (- \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 3.17.1.3

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.17.1.3.1

从 $- \sin^{2} (x)$ 中减去 $\sin^{2} (x)$ 。

$2 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 3.17.1.3.2

将 $- 2 \sin^{2} (x)$ 和 $2 \sin^{2} (x)$ 相加。

$2 \sin (x) \cdot 0 = 0$

解题步骤 3.17.1.4

乘以 $2 \sin (x) \cdot 0$ 。

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解题步骤 3.17.1.4.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$0 \sin (x) = 0$

解题步骤 3.17.1.4.2

将 $0$ 乘以 $\sin (x)$ 。

$0 = 0$

解题步骤 3.18

因为 $0 = 0$ ，所以方程对于 $x$ 的所有值将恒成立。

所有实数

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

所有实数

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

三角学 示例

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