三角学示例

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{1 - \frac{3}{5}}}{1 + (- \frac{3}{5})}$

解题步骤 1

化简 $\frac{\sqrt{1 - \frac{3}{5}}}{1 - \frac{3}{5}}$ 。

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解题步骤 1.1

化简分子。

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解题步骤 1.1.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{\frac{5}{5} - \frac{3}{5}}}{1 - \frac{3}{5}}$

解题步骤 1.1.2

在公分母上合并分子。

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{\frac{5 - 3}{5}}}{1 - \frac{3}{5}}$

解题步骤 1.1.3

从 $5$ 中减去 $3$ 。

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{\frac{2}{5}}}{1 - \frac{3}{5}}$

解题步骤 1.1.4

将 $\sqrt{\frac{2}{5}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ 。

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}}{1 - \frac{3}{5}}$

解题步骤 1.1.5

将 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}}{1 - \frac{3}{5}}$

解题步骤 1.1.6

合并和化简分母。

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解题步骤 1.1.6.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}}{1 - \frac{3}{5}}$

解题步骤 1.1.6.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}}{1 - \frac{3}{5}}$

解题步骤 1.1.6.3

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}}{1 - \frac{3}{5}}$

解题步骤 1.1.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}}{1 - \frac{3}{5}}$

解题步骤 1.1.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}}{1 - \frac{3}{5}}$

解题步骤 1.1.6.6

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 1.1.6.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{1 - \frac{3}{5}}$

解题步骤 1.1.6.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{1 - \frac{3}{5}}$

解题步骤 1.1.6.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}}{1 - \frac{3}{5}}$

解题步骤 1.1.6.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.6.6.4.1

约去公因数。

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}}{1 - \frac{3}{5}}$

解题步骤 1.1.6.6.4.2

重写表达式。

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}}{1 - \frac{3}{5}}$

解题步骤 1.1.6.6.5

计算指数。

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}}{1 - \frac{3}{5}}$

解题步骤 1.1.7

化简分子。

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解题步骤 1.1.7.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}}{1 - \frac{3}{5}}$

解题步骤 1.1.7.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{10}}{5}}{1 - \frac{3}{5}}$

解题步骤 1.2

化简分母。

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解题步骤 1.2.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{10}}{5}}{\frac{5}{5} - \frac{3}{5}}$

解题步骤 1.2.2

在公分母上合并分子。

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{10}}{5}}{\frac{5 - 3}{5}}$

解题步骤 1.2.3

从 $5$ 中减去 $3$ 。

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{10}}{5}}{\frac{2}{5}}$

解题步骤 1.3

将分子乘以分母的倒数。

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{10}}{5} \cdot \frac{5}{2}$

解题步骤 1.4

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

约去公因数。

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{10}}{5} \cdot \frac{5}{2}$

解题步骤 1.4.2

重写表达式。

$\tan (\frac{x}{2}) = \sqrt{10} \frac{1}{2}$

解题步骤 1.5

组合 $\sqrt{10}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{10}}{2}$

解题步骤 2

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$\frac{x}{2} = \arctan (\frac{\sqrt{10}}{2})$

解题步骤 3

化简右边。

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解题步骤 3.1

计算 $\arctan (\frac{\sqrt{10}}{2})$ 。

$\frac{x}{2} = 1.00685368$

解题步骤 4

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 1.00685368$

解题步骤 5

化简方程的两边。

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解题步骤 5.1

化简左边。

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解题步骤 5.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 1.00685368$

解题步骤 5.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 \cdot 1.00685368$

解题步骤 5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.1

将 $2$ 乘以 $1.00685368$ 。

$x = 2.01370737$

解题步骤 6

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$\frac{x}{2} = (3.14159265) + 1.00685368$

解题步骤 7

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 ((3.14159265) + 1.00685368)$

解题步骤 7.2

化简方程的两边。

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解题步骤 7.2.1

化简左边。

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解题步骤 7.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 ((3.14159265) + 1.00685368)$

解题步骤 7.2.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 ((3.14159265) + 1.00685368)$

解题步骤 7.2.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.2.1

化简 $2 ((3.14159265) + 1.00685368)$ 。

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解题步骤 7.2.2.1.1

将 $3.14159265$ 和 $1.00685368$ 相加。

$x = 2 \cdot 4.14844633$

解题步骤 7.2.2.1.2

将 $2$ 乘以 $4.14844633$ 。

$x = 8.29689267$

解题步骤 8

求 $\tan (\frac{x}{2})$ 的周期。

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解题步骤 8.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 8.2

使用周期公式中的 $\frac{1}{2}$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

解题步骤 8.3

$\frac{1}{2}$ 约为 $0.5$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8.4

将分子乘以分母的倒数。

$π \cdot 2$

解题步骤 8.5

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$2 π$

解题步骤 9

$\tan (\frac{x}{2})$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2.01370737 + 2 π n, 8.29689267 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 10

将 $2.01370737 + 2 π n$ 和 $8.29689267 + 2 π n$ 合并为 $2.01370737 + 2 π n$ 。

$x = 2.01370737 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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