三角学示例

$\tan (\frac{a}{2}) = - \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)}$

解题步骤 1

将所有包含 $a$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 1.1

在等式两边都加上 $\frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)}$ 。

$\tan (\frac{a}{2}) + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)} = 0$

解题步骤 1.2

将 $\tan (\frac{a}{2})$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sin (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)} = 0$

解题步骤 1.3

要将 $\frac{\sin (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)}$ 。

$\frac{\sin (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})} \cdot \frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)} = 0$

解题步骤 1.4

要将 $\frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})}$ 。

$\frac{\sin (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})} \cdot \frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)} \cdot \frac{\cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})} = 0$

解题步骤 1.5

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))$ 的形式。

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解题步骤 1.5.1

将 $\frac{\sin (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})}$ 乘以 $\frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)}$ 。

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)} \cdot \frac{\cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})} = 0$

解题步骤 1.5.2

将 $\frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)}$ 乘以 $\frac{\cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})}$ 。

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})}{(1 + \cos (a)) \cos (\frac{a}{2})} = 0$

解题步骤 1.5.3

重新排序 $(1 + \cos (a)) \cos (\frac{a}{2})$ 的因式。

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} = 0$

解题步骤 1.6

在公分母上合并分子。

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a)) + \sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} = 0$

解题步骤 1.7

化简分子。

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解题步骤 1.7.1

运用分配律。

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) \cdot 1 + \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} = 0$

解题步骤 1.7.2

将 $\sin (\frac{a}{2})$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) + \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} = 0$

解题步骤 2

将分子设为等于零。

$\sin (\frac{a}{2}) + \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2}) = 0$

解题步骤 3

求解 $a$ 的方程。

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解题步骤 3.1

将所有不包含 $\sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.1.1

从等式两边同时减去 $\sin (\frac{a}{2})$ 。

$\sin (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2}) = - \sin (\frac{a}{2})$

解题步骤 3.1.2

从等式两边同时减去 $\sin (\frac{a}{2}) \cos (a)$ 。

$\sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2}) = - \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)$

解题步骤 3.2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(\sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2}))}^{2} = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

解题步骤 3.3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 - \cos (a)}$ 重写成 ${(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}} \cos (\frac{a}{2}))}^{2} = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

化简 ${({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}} \cos (\frac{a}{2}))}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1

对 ${(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}} \cos (\frac{a}{2})$ 运用乘积法则。

${({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}})}^{2} \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.2

将 ${({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.2.2.1

约去公因数。

${(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.2.2.2

重写表达式。

${(1 - \cos (a))}^{1} \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3

化简。

$(1 - \cos (a)) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.4

运用分配律。

$1 \cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.5

将 $\cos^{2} (\frac{a}{2})$ 乘以 $1$ 。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

化简 ${(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.1

将 ${(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$ 重写为 $(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$ 。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

解题步骤 3.3.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.2.1

运用分配律。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

解题步骤 3.3.3.1.2.2

运用分配律。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

解题步骤 3.3.3.1.2.3

运用分配律。

解题步骤 3.3.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.3.1.3.1.1

乘以 $- \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}))$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.3.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = 1 \sin (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

解题步骤 3.3.3.1.3.1.1.2

将 $\sin (\frac{a}{2})$ 乘以 $1$ 。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

解题步骤 3.3.3.1.3.1.1.3

对 $\sin (\frac{a}{2})$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

解题步骤 3.3.3.1.3.1.1.4

对 $\sin (\frac{a}{2})$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin^{1} (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

解题步骤 3.3.3.1.3.1.1.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {\sin (\frac{a}{2})}^{1 + 1} - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

解题步骤 3.3.3.1.3.1.1.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

解题步骤 3.3.3.1.3.1.2

乘以 $- \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.3.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + 1 \sin (\frac{a}{2}) (\sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

解题步骤 3.3.3.1.3.1.2.2

将 $\sin (\frac{a}{2})$ 乘以 $1$ 。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin (\frac{a}{2}) (\sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

解题步骤 3.3.3.1.3.1.2.3

对 $\sin (\frac{a}{2})$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

解题步骤 3.3.3.1.3.1.2.4

对 $\sin (\frac{a}{2})$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin^{1} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

解题步骤 3.3.3.1.3.1.2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + {\sin (\frac{a}{2})}^{1 + 1} \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

解题步骤 3.3.3.1.3.1.2.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

解题步骤 3.3.3.1.3.1.3

乘以 $- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}))$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.3.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + 1 \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

解题步骤 3.3.3.1.3.1.3.2

将 $\sin (\frac{a}{2})$ 乘以 $1$ 。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

解题步骤 3.3.3.1.3.1.3.3

对 $\sin (\frac{a}{2})$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

解题步骤 3.3.3.1.3.1.3.4

对 $\sin (\frac{a}{2})$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin^{1} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

解题步骤 3.3.3.1.3.1.3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + {\sin (\frac{a}{2})}^{1 + 1} \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

解题步骤 3.3.3.1.3.1.3.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

解题步骤 3.3.3.1.3.1.4

乘以 $- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.3.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + 1 \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (\sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

解题步骤 3.3.3.1.3.1.4.2

将 $\sin (\frac{a}{2})$ 乘以 $1$ 。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (\sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

解题步骤 3.3.3.1.3.1.4.3

对 $\sin (\frac{a}{2})$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) \cos (a)$

解题步骤 3.3.3.1.3.1.4.4

对 $\sin (\frac{a}{2})$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 3.3.3.1.3.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + {\sin (\frac{a}{2})}^{1 + 1} \cos (a) \cos (a)$

解题步骤 3.3.3.1.3.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) \cos (a)$

解题步骤 3.3.3.1.3.1.4.7

对 $\cos (a)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) (\cos^{1} (a) \cos (a))$

解题步骤 3.3.3.1.3.1.4.8

对 $\cos (a)$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 3.3.3.1.3.1.4.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) {\cos (a)}^{1 + 1}$

解题步骤 3.3.3.1.3.1.4.10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$

解题步骤 3.3.3.1.3.2

将 $\sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a)$ 和 $\sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a)$ 相加。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$

解题步骤 3.4

求解 $a$ 。

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解题步骤 3.4.1

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 3.4.1.1

从等式两边同时减去 $\sin^{2} (\frac{a}{2})$ 。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) = 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$

解题步骤 3.4.1.2

从等式两边同时减去 $2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a)$ 。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$

解题步骤 3.4.1.3

从等式两边同时减去 $\sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$ 。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

解题步骤 3.4.2

化简 $\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

移动 $- \sin^{2} (\frac{a}{2})$ 。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

解题步骤 3.4.2.2

使用余弦倍角公式。

$\cos (2 \frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

解题步骤 3.4.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.3.1

约去公因数。

$\cos (2 \frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

解题步骤 3.4.2.3.2

重写表达式。

$\cos (a) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

解题步骤 3.4.2.4

乘以 $1$ 。

$\cos (a) \cdot 1 - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

解题步骤 3.4.2.5

从 $- \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2})$ 中分解出因数 $\cos (a)$ 。

$\cos (a) \cdot 1 + \cos (a) (- 1 \cos^{2} (\frac{a}{2})) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

解题步骤 3.4.2.6

从 $\cos (a) \cdot 1 + \cos (a) (- 1 \cos^{2} (\frac{a}{2}))$ 中分解出因数 $\cos (a)$ 。

$\cos (a) \cdot (1 - 1 \cos^{2} (\frac{a}{2})) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

解题步骤 3.4.2.7

将 $- 1 \cos^{2} (\frac{a}{2})$ 重写为 $- \cos^{2} (\frac{a}{2})$ 。

$\cos (a) \cdot (1 - \cos^{2} (\frac{a}{2})) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

解题步骤 3.4.2.8

使用勾股恒等式。

$\cos (a) \cdot \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

解题步骤 3.4.2.9

重新排序 $\cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ 的因式。

$\sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

解题步骤 3.4.2.10

从 $\sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a)$ 中减去 $2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a)$ 。

$- \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

解题步骤 3.4.3

从 $- \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$ 中分解出因数 $- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ 。

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解题步骤 3.4.3.1

将表达式重新排序。

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解题步骤 3.4.3.1.1

移动 $\sin^{2} (\frac{a}{2})$ 。

$- 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

解题步骤 3.4.3.1.2

移动 $\sin^{2} (\frac{a}{2})$ 。

$- 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 1 \cos^{2} (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$

解题步骤 3.4.3.1.3

将 $- 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ 和 $- 1 \cos^{2} (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ 重新排序。

$- 1 \cos^{2} (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$

解题步骤 3.4.3.2

从 $- 1 \cos^{2} (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ 中分解出因数 $- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ 。

$- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$

解题步骤 3.4.3.3

从 $- 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ 中分解出因数 $- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ 。

$- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cdot 1 = 0$

解题步骤 3.4.3.4

从 $- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cdot 1$ 中分解出因数 $- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ 。

$- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) (\cos (a) + 1) = 0$

解题步骤 3.4.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cos (a) = 0$

$\sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$

$\cos (a) + 1 = 0$

解题步骤 3.4.5

将 $\cos (a)$ 设为等于 $0$ 并求解 $a$ 。

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解题步骤 3.4.5.1

将 $\cos (a)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (a) = 0$

解题步骤 3.4.5.2

求解 $a$ 的 $\cos (a) = 0$ 。

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解题步骤 3.4.5.2.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $a$ 。

$a = \arccos (0)$

解题步骤 3.4.5.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.5.2.2.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$a = \frac{π}{2}$

解题步骤 3.4.5.2.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$a = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 3.4.5.2.4

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 3.4.5.2.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$a = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 3.4.5.2.4.2

合并分数。

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解题步骤 3.4.5.2.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$a = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 3.4.5.2.4.2.2

在公分母上合并分子。

$a = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 3.4.5.2.4.3

化简分子。

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解题步骤 3.4.5.2.4.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$a = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 3.4.5.2.4.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$a = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 3.4.5.2.5

求 $\cos (a)$ 的周期。

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解题步骤 3.4.5.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.4.5.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 3.4.5.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.4.5.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 3.4.5.2.6

$\cos (a)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$a = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.4.6

将 $\sin^{2} (\frac{a}{2})$ 设为等于 $0$ 并求解 $a$ 。

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解题步骤 3.4.6.1

将 $\sin^{2} (\frac{a}{2})$ 设为等于 $0$ 。

$\sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$

解题步骤 3.4.6.2

求解 $a$ 的 $\sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$ 。

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解题步骤 3.4.6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (\frac{a}{2}) = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 3.4.6.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 3.4.6.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\sin (\frac{a}{2}) = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 3.4.6.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\sin (\frac{a}{2}) = \pm 0$

解题步骤 3.4.6.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$\sin (\frac{a}{2}) = 0$

解题步骤 3.4.6.2.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $a$ 。

$\frac{a}{2} = \arcsin (0)$

解题步骤 3.4.6.2.4

化简右边。

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解题步骤 3.4.6.2.4.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{a}{2} = 0$

解题步骤 3.4.6.2.5

将分子设为等于零。

$a = 0$

解题步骤 3.4.6.2.6

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$\frac{a}{2} = π - 0$

解题步骤 3.4.6.2.7

求解 $a$ 。

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解题步骤 3.4.6.2.7.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{a}{2} = 2 (π - 0)$

解题步骤 3.4.6.2.7.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.4.6.2.7.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.4.6.2.7.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.6.2.7.2.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{a}{2} = 2 (π - 0)$

解题步骤 3.4.6.2.7.2.1.1.2

重写表达式。

$a = 2 (π - 0)$

解题步骤 3.4.6.2.7.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.6.2.7.2.2.1

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$a = 2 π$

解题步骤 3.4.6.2.8

求 $\sin (\frac{a}{2})$ 的周期。

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解题步骤 3.4.6.2.8.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.4.6.2.8.2

使用周期公式中的 $\frac{1}{2}$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

解题步骤 3.4.6.2.8.3

$\frac{1}{2}$ 约为 $0.5$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 3.4.6.2.8.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \cdot 2$

解题步骤 3.4.6.2.8.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 π$

解题步骤 3.4.6.2.9

$\sin (\frac{a}{2})$ 函数的周期为 $4 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $4 π$ 弧度将重复出现。

$a = 4 π n, 2 π + 4 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.4.7

将 $\cos (a) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $a$ 。

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解题步骤 3.4.7.1

将 $\cos (a) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (a) + 1 = 0$

解题步骤 3.4.7.2

求解 $a$ 的 $\cos (a) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.4.7.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\cos (a) = - 1$

解题步骤 3.4.7.2.2

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $a$ 。

$a = \arccos (- 1)$

解题步骤 3.4.7.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.7.2.3.1

$\arccos (- 1)$ 的准确值为 $π$ 。

$a = π$

解题步骤 3.4.7.2.4

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$a = 2 π - π$

解题步骤 3.4.7.2.5

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$a = π$

解题步骤 3.4.7.2.6

求 $\cos (a)$ 的周期。

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解题步骤 3.4.7.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.4.7.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 3.4.7.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.4.7.2.6.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 3.4.7.2.7

$\cos (a)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$a = π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.4.8

最终解为使 $- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) (\cos (a) + 1) = 0$ 成立的所有值。

$a = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 4 π n, 2 π + 4 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

合并答案。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{π}{2} + 2 π n$ 和 $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ 合并为 $\frac{π}{2} + π n$ 。

$a = \frac{π}{2} + π n, 4 π n, 2 π + 4 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4.2

将 $4 π n$ 和 $2 π + 4 π n$ 合并为 $2 π n$ 。

$a = \frac{π}{2} + π n, 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4.3

将 $2 π n$ 和 $π + 2 π n$ 合并为 $π n$ 。

$a = \frac{π}{2} + π n, π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4.4

合并答案。

$a = \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

将每一个解代入 $\tan (\frac{a}{2}) = - \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)}$ 并求解从而对其进行验证。

$a = \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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