三角学示例

$\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \frac{\sec (y) + \tan (y) \csc (y)}{\tan (y)}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\frac{\sec (y) + \tan (y) \csc (y)}{\tan (y)} = x$ 。

$\frac{\sec (y) + \tan (y) \csc (y)}{\tan (y)} = x$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简 $\frac{\sec (y) + \tan (y) \csc (y)}{\tan (y)}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

化简分子。

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解题步骤 2.2.1.1.1

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 2.2.1.1.1.1

将 $\tan (y) \csc (y)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sec (y) + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{1}{\sin (y)}}{\tan (y)} = x$

解题步骤 2.2.1.1.1.2

约去公因数。

$\frac{\sec (y) + \frac{1}{\cos (y)}}{\tan (y)} = x$

解题步骤 2.2.1.1.2

将 $\frac{1}{\cos (y)}$ 转换成 $\sec (y)$ 。

$\frac{\sec (y) + \sec (y)}{\tan (y)} = x$

解题步骤 2.2.1.1.3

将 $\sec (y)$ 和 $\sec (y)$ 相加。

$\frac{2 \sec (y)}{\tan (y)} = x$

解题步骤 2.2.1.2

分离分数。

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\sec (y)}{\tan (y)} = x$

解题步骤 2.2.1.3

将 $\tan (y)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\sec (y)}{\frac{\sin (y)}{\cos (y)}} = x$

解题步骤 2.2.1.4

将 $\sec (y)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (y)}}{\frac{\sin (y)}{\cos (y)}} = x$

解题步骤 2.2.1.5

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ 。

$\frac{2}{1} (\frac{1}{\cos (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)}) = x$

解题步骤 2.2.1.6

约去 $\cos (y)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.6.1

约去公因数。

$\frac{2}{1} (\frac{1}{\cos (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)}) = x$

解题步骤 2.2.1.6.2

重写表达式。

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)} = x$

解题步骤 2.2.1.7

将 $\frac{1}{\sin (y)}$ 转换成 $\csc (y)$ 。

$\frac{2}{1} \csc (y) = x$

解题步骤 2.2.1.8

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 \csc (y) = x$

解题步骤 2.3

将 $2 \csc (y) = x$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $2 \csc (y) = x$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \csc (y)}{2} = \frac{x}{2}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \csc (y)}{2} = \frac{x}{2}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $\csc (y)$ 除以 $1$ 。

$\csc (y) = \frac{x}{2}$

解题步骤 2.4

取等式两边的反余割以从余割中提出 $y$ 。

$y = arccsc (\frac{x}{2})$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = arccsc (\frac{x}{2})$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = arccsc (\frac{x}{2})$ 是否为 $f (x) = \frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)})$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}}{2})$

解题步骤 4.2.3

将分子乘以分母的倒数。

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 4.2.4

化简分子。

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解题步骤 4.2.4.1

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 4.2.4.1.1

将 $\tan (x) \csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{\sec (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}}{\tan (x)} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 4.2.4.1.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{\sec (x) + \frac{1}{\cos (x)}}{\tan (x)} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 4.2.4.2

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{\sec (x) + \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 4.2.4.3

将 $\sec (x)$ 和 $\sec (x)$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{2 \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 4.2.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.5.1

从 $2 \sec (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{2 (\sec (x))}{\tan (x)} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 4.2.5.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{2 \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 4.2.5.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{\sec (x)}{\tan (x)})$

解题步骤 4.2.6

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{\sec (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}})$

解题步骤 4.2.7

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}})$

解题步骤 4.2.8

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

解题步骤 4.2.9

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.9.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

解题步骤 4.2.9.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{1}{\sin (x)})$

解题步骤 4.2.10

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\csc (x))$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (arccsc (\frac{x}{2}))$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\sec (arccsc (\frac{x}{2})) + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3

化简分子。

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解题步骤 4.3.3.1

在平面中画出顶点为 $(\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}, 1)$ 、 $(\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}, 0)$ 和原点的三角形。则 $arccsc (\frac{x}{2})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}, 1)$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sec (arccsc (\frac{x}{2}))$ 为 $\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.2

将分子乘以分母的倒数。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.3

合并。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \cdot 1}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.5

化简分母。

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解题步骤 4.3.3.5.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.5.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \frac{x}{2}$ 和 $b = 1$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.5.3

化简。

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解题步骤 4.3.3.5.3.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.5.3.2

在公分母上合并分子。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot (\frac{x}{2} - 1)}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.5.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.5.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.5.3.5

在公分母上合并分子。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.5.3.6

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.5.4

将 $\frac{x + 2}{2}$ 乘以 $\frac{x - 2}{2}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.5.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.5.6

将 $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ 。

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解题步骤 4.3.3.5.6.1

从 $(x + 2) (x - 2)$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.5.6.2

从 $4$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.5.6.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.5.7

从根式下提出各项。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{(x + 2) (x - 2)})} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.5.8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 (\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2})} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.6

组合 $2$ 和 $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.7

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.3.3.7.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$ 。

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解题步骤 4.3.3.7.1.1

约去公因数。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.7.1.2

重写表达式。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{1}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.7.2

用 $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 除以 $1$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.8

将 $\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.9

合并和化简分母。

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解题步骤 4.3.3.9.1

将 $\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.9.2

对 $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 4.3.3.9.3

对 $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 4.3.3.9.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1 + 1}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.9.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.9.6

将 ${\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}$ 重写为 $(x + 2) (x - 2)$ 。

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解题步骤 4.3.3.9.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 重写成 ${((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.9.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.9.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.9.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.9.6.4.1

约去公因数。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.9.6.4.2

重写表达式。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.9.6.5

化简。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.10

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 4.3.3.10.1

将 $\tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))$ 重写为正弦和余弦形式。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{\sin (arccsc (\frac{x}{2}))}{\cos (arccsc (\frac{x}{2}))} \cdot \frac{1}{\sin (arccsc (\frac{x}{2}))}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.10.2

约去公因数。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{1}{\cos (arccsc (\frac{x}{2}))}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.11

将 $\frac{1}{\cos (arccsc (\frac{x}{2}))}$ 转换成 $\sec (arccsc (\frac{x}{2}))$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \sec (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.12

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.13

将分子乘以分母的倒数。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.14

合并。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x \cdot 1}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.15

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.16

化简分母。

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解题步骤 4.3.3.16.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.16.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \frac{x}{2}$ 和 $b = 1$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.16.3

化简。

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解题步骤 4.3.3.16.3.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.16.3.2

在公分母上合并分子。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot (\frac{x}{2} - 1)}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.16.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.16.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.16.3.5

在公分母上合并分子。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.16.3.6

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.16.4

将 $\frac{x + 2}{2}$ 乘以 $\frac{x - 2}{2}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.16.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.16.6

将 $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ 。

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解题步骤 4.3.3.16.6.1

从 $(x + 2) (x - 2)$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.16.6.2

从 $4$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.16.6.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.16.7

从根式下提出各项。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{(x + 2) (x - 2)})}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.16.8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 (\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2})}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.17

组合 $2$ 和 $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.18

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.3.3.18.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$ 。

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解题步骤 4.3.3.18.1.1

约去公因数。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.18.1.2

重写表达式。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{1}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.18.2

用 $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 除以 $1$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.19

将 $\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.20

合并和化简分母。

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解题步骤 4.3.3.20.1

将 $\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.20.2

对 $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.20.3

对 $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.20.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1 + 1}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.20.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.20.6

将 ${\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}$ 重写为 $(x + 2) (x - 2)$ 。

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解题步骤 4.3.3.20.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 重写成 ${((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.20.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.20.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.20.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.20.6.4.1

约去公因数。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.20.6.4.2

重写表达式。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.20.6.5

化简。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.3.21

将 $\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$ 和 $\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$ 相加。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

解题步骤 4.3.4

化简分母。

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解题步骤 4.3.4.1

在平面中画出顶点为 $(\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}, 1)$ 、 $(\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}, 0)$ 和原点的三角形。则 $arccsc (\frac{x}{2})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}, 1)$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\tan (arccsc (\frac{x}{2}))$ 为 $\frac{1}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}$

解题步骤 4.3.4.2

化简分母。

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解题步骤 4.3.4.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}}}$

解题步骤 4.3.4.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \frac{x}{2}$ 和 $b = 1$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}}}$

解题步骤 4.3.4.2.3

化简。

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解题步骤 4.3.4.2.3.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}}}$

解题步骤 4.3.4.2.3.2

在公分母上合并分子。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot (\frac{x}{2} - 1)}}}$

解题步骤 4.3.4.2.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}}}$

解题步骤 4.3.4.2.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}}}$

解题步骤 4.3.4.2.3.5

在公分母上合并分子。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}}}$

解题步骤 4.3.4.2.3.6

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}}}$

解题步骤 4.3.4.2.4

将 $\frac{x + 2}{2}$ 乘以 $\frac{x - 2}{2}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}}}$

解题步骤 4.3.4.2.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}}}}$

解题步骤 4.3.4.2.6

将 $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ 。

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解题步骤 4.3.4.2.6.1

从 $(x + 2) (x - 2)$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}}}$

解题步骤 4.3.4.2.6.2

从 $4$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}}}$

解题步骤 4.3.4.2.6.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}}}$

解题步骤 4.3.4.2.7

从根式下提出各项。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}$

解题步骤 4.3.4.2.8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}}}$

解题步骤 4.3.4.3

将分子乘以分母的倒数。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{1 (\frac{2}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}})}$

解题步骤 4.3.4.4

将 $\frac{2}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ 乘以 $1$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{2}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}$

解题步骤 4.3.4.5

将 $\frac{2}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{2}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}$

解题步骤 4.3.4.6

合并和化简分母。

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解题步骤 4.3.4.6.1

将 $\frac{2}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}$

解题步骤 4.3.4.6.2

对 $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}$

解题步骤 4.3.4.6.3

对 $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}$

解题步骤 4.3.4.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1 + 1}}}$

解题步骤 4.3.4.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}}}$

解题步骤 4.3.4.6.6

将 ${\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}$ 重写为 $(x + 2) (x - 2)$ 。

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解题步骤 4.3.4.6.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 重写成 ${((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

解题步骤 4.3.4.6.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

解题步骤 4.3.4.6.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}}$

解题步骤 4.3.4.6.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.6.6.4.1

约去公因数。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}}$

解题步骤 4.3.4.6.6.4.2

重写表达式。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}}$

解题步骤 4.3.4.6.6.5

化简。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}}$

解题步骤 4.3.5

组合 $2$ 和 $\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{2 (x \sqrt{(x + 2) (x - 2)})}{(x + 2) (x - 2)}}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}}$

解题步骤 4.3.6

将分子乘以分母的倒数。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

解题步骤 4.3.7

约去 $2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.7.1

从 $2 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 中分解出因数 $2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

解题步骤 4.3.7.2

约去公因数。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} x}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

解题步骤 4.3.7.3

重写表达式。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{x}{(x + 2) (x - 2)} \cdot ((x + 2) (x - 2))$

解题步骤 4.3.8

约去 $(x + 2) (x - 2)$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.8.1

约去公因数。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{x}{(x + 2) (x - 2)} \cdot ((x + 2) (x - 2))$

解题步骤 4.3.8.2

重写表达式。

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = arccsc (\frac{x}{2})$ 为 $f (x) = \frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = arccsc (\frac{x}{2})$

三角学 示例

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