三角学示例

$\frac{\sec (x)}{\csc (x)}$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \frac{\sec (y)}{\csc (y)}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\frac{\sec (y)}{\csc (y)} = x$ 。

$\frac{\sec (y)}{\csc (y)} = x$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简 $\frac{\sec (y)}{\csc (y)}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $\csc (y)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sec (y)}{\frac{1}{\sin (y)}} = x$

解题步骤 2.2.1.2

将 $\sec (y)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{1}{\cos (y)}}{\frac{1}{\sin (y)}} = x$

解题步骤 2.2.1.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\sin (y)}$ 。

$\frac{\sin (y)}{\cos (y)} = x$

解题步骤 2.2.1.4

将 $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ 转换成 $\tan (y)$ 。

$\tan (y) = x$

解题步骤 2.3

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $y$ 。

$y = \arctan (x)$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \arctan (x)$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \arctan (x)$ 是否为 $f (x) = \frac{\sec (x)}{\csc (x)}$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)})$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)}) = \arctan (\frac{\sec (x)}{\csc (x)})$

解题步骤 4.2.3

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)}) = \arctan (\frac{\sec (x)}{\frac{1}{\sin (x)}})$

解题步骤 4.2.4

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)}) = \arctan (\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\frac{1}{\sin (x)}})$

解题步骤 4.2.5

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\sin (x)}$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)}) = \arctan (\frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

解题步骤 4.2.6

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)}) = \arctan (\tan (x))$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\arctan (x))$ 。

$f (\arctan (x)) = \frac{\sec (\arctan (x))}{\csc (\arctan (x))}$

解题步骤 4.3.3

将 $\csc (\arctan (x))$ 重写为正弦和余弦形式。

$f (\arctan (x)) = \frac{\sec (\arctan (x))}{\frac{1}{\sin (\arctan (x))}}$

解题步骤 4.3.4

将 $\sec (\arctan (x))$ 重写为正弦和余弦形式。

$f (\arctan (x)) = \frac{\frac{1}{\cos (\arctan (x))}}{\frac{1}{\sin (\arctan (x))}}$

解题步骤 4.3.5

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\sin (\arctan (x))}$ 。

$f (\arctan (x)) = \frac{\sin (\arctan (x))}{\cos (\arctan (x))}$

解题步骤 4.3.6

将 $\frac{\sin (\arctan (x))}{\cos (\arctan (x))}$ 转换成 $\tan (\arctan (x))$ 。

$f (\arctan (x)) = \tan (\arctan (x))$

解题步骤 4.3.7

正切和余切互为反函数。

$f (\arctan (x)) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \arctan (x)$ 为 $f (x) = \frac{\sec (x)}{\csc (x)}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \arctan (x)$

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