三角学示例

${\cos (\frac{150}{400})}^{a}$

解题步骤 1

交换变量。

$a = {\cos (\frac{150}{400})}^{y}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 ${\cos (\frac{150}{400})}^{y} = a$ 。

${\cos (\frac{150}{400})}^{y} = a$

解题步骤 2.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln ({\cos (\frac{150}{400})}^{y}) = \ln (a)$

解题步骤 2.3

展开左边。

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解题步骤 2.3.1

通过将 $y$ 移到对数外来展开 $\ln ({\cos (\frac{150}{400})}^{y})$ 。

$y \ln (\cos (\frac{150}{400})) = \ln (a)$

解题步骤 2.3.2

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{150}{400}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

从 $150$ 中分解出因数 $50$ 。

$y \ln (\cos (\frac{50 (3)}{400})) = \ln (a)$

解题步骤 2.3.2.2

从 $400$ 中分解出因数 $50$ 。

$y \ln (\cos (\frac{50 \cdot 3}{50 \cdot 8})) = \ln (a)$

解题步骤 2.3.2.3

约去公因数。

$y \ln (\cos (\frac{50 \cdot 3}{50 \cdot 8})) = \ln (a)$

解题步骤 2.3.2.4

重写表达式。

$y \ln (\cos (\frac{3}{8})) = \ln (a)$

解题步骤 2.4

化简左边。

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解题步骤 2.4.1

计算 $\cos (\frac{3}{8})$ 。

$y \ln (0.93050762) = \ln (a)$

解题步骤 2.5

将 $y \ln (0.93050762) = \ln (a)$ 中的每一项除以 $\ln (0.93050762)$ 并化简。

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解题步骤 2.5.1

将 $y \ln (0.93050762) = \ln (a)$ 中的每一项都除以 $\ln (0.93050762)$ 。

$\frac{y \ln (0.93050762)}{\ln (0.93050762)} = \frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}$

解题步骤 2.5.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.2.1

约去 $\ln (0.93050762)$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y \ln (0.93050762)}{\ln (0.93050762)} = \frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}$

解题步骤 2.5.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (a)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (a) = \frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (a) = \frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}$ 是否为 $f (a) = {\cos (\frac{150}{400})}^{a}$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (a)) = a$ 和 $f (f^{- 1} (a)) = a$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (a))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (a))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} ({\cos (\frac{150}{400})}^{a})$ 。

$f^{- 1} ({\cos (\frac{150}{400})}^{a}) = \frac{\ln ({\cos (\frac{150}{400})}^{a})}{\ln (0.93050762)}$

解题步骤 4.2.3

通过将 $a$ 移到对数外来展开 $\ln ({\cos (\frac{150}{400})}^{a})$ 。

$f^{- 1} ({\cos (\frac{150}{400})}^{a}) = \frac{a \ln (\cos (\frac{150}{400}))}{\ln (0.93050762)}$

解题步骤 4.2.4

约去 $150$ 和 $400$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.1

从 $150$ 中分解出因数 $50$ 。

$f^{- 1} ({\cos (\frac{150}{400})}^{a}) = \frac{a \ln (\cos (\frac{50 (3)}{400}))}{\ln (0.93050762)}$

解题步骤 4.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.4.2.1

从 $400$ 中分解出因数 $50$ 。

$f^{- 1} ({\cos (\frac{150}{400})}^{a}) = \frac{a \ln (\cos (\frac{50 \cdot 3}{50 \cdot 8}))}{\ln (0.93050762)}$

解题步骤 4.2.4.2.2

约去公因数。

$f^{- 1} ({\cos (\frac{150}{400})}^{a}) = \frac{a \ln (\cos (\frac{50 \cdot 3}{50 \cdot 8}))}{\ln (0.93050762)}$

解题步骤 4.2.4.2.3

重写表达式。

$f^{- 1} ({\cos (\frac{150}{400})}^{a}) = \frac{a \ln (\cos (\frac{3}{8}))}{\ln (0.93050762)}$

解题步骤 4.2.5

计算 $\cos (\frac{3}{8})$ 。

$f^{- 1} ({\cos (\frac{150}{400})}^{a}) = \frac{a \ln (0.93050762)}{\ln (0.93050762)}$

解题步骤 4.2.6

约去 $\ln (0.93050762)$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.6.1

约去公因数。

$f^{- 1} ({\cos (\frac{150}{400})}^{a}) = \frac{a \ln (0.93050762)}{\ln (0.93050762)}$

解题步骤 4.2.6.2

用 $a$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} ({\cos (\frac{150}{400})}^{a}) = a$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (a))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (a))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)})$ 。

$f (\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}) = {\cos (\frac{150}{400})}^{\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}}$

解题步骤 4.3.3

约去 $150$ 和 $400$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.1

从 $150$ 中分解出因数 $50$ 。

$f (\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}) = {\cos (\frac{50 (3)}{400})}^{\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}}$

解题步骤 4.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.3.2.1

从 $400$ 中分解出因数 $50$ 。

$f (\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}) = {\cos (\frac{50 \cdot 3}{50 \cdot 8})}^{\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}}$

解题步骤 4.3.3.2.2

约去公因数。

$f (\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}) = {\cos (\frac{50 \cdot 3}{50 \cdot 8})}^{\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}}$

解题步骤 4.3.3.2.3

重写表达式。

$f (\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}) = {\cos (\frac{3}{8})}^{\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}}$

解题步骤 4.3.4

计算 $\cos (\frac{3}{8})$ 。

$f (\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}) = {0.93050762}^{\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}}$

解题步骤 4.3.5

使用换底公式 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ 。

$f (\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}) = {0.93050762}^{\log_{0.93050762} (a)}$

解题步骤 4.3.6

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}) = a$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (a)) = a$ 和 $f (f^{- 1} (a)) = a$ ，因此 $f^{- 1} (a) = \frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}$ 为 $f (a) = {\cos (\frac{150}{400})}^{a}$ 的反函数。

$f^{- 1} (a) = \frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}$

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