三角学示例

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \frac{\cos (2 y)}{\sin (y)}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将方程重写为 $\frac{\cos (2 y)}{\sin (y)} = x$ 。

$\frac{\cos (2 y)}{\sin (y)} = x$

解题步骤 2.2

两边同时乘以 $\sin (y)$ 。

$\frac{\cos (2 y)}{\sin (y)} \sin (y) = x \sin (y)$

解题步骤 2.3

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

约去 $\sin (y)$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.1

约去公因数。

$\frac{\cos (2 y)}{\sin (y)} \sin (y) = x \sin (y)$

解题步骤 2.3.1.2

重写表达式。

$\cos (2 y) = x \sin (y)$

解题步骤 2.4

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $1 - 2 \sin^{2} (x)$ 。

$1 - 2 \sin^{2} (y) = x \sin (y)$

解题步骤 2.4.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- 2 \sin^{2} (y) = x \sin (y) - 1$

解题步骤 2.4.3

从等式两边同时减去 $x \sin (y)$ 。

$- 2 \sin^{2} (y) - x \sin (y) = - 1$

解题步骤 2.4.4

求解 $y$ 的方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.4.1

代入 $u$ 替换 $\sin (y)$ 。

$- 2 {(u)}^{2} - x u = - 1$

解题步骤 2.4.4.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$- 2 u^{2} - x u + 1 = 0$

解题步骤 2.4.4.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.4.4.4

将 $a = - 2$ 、 $b = - x$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot 1)}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.4.4.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.4.5.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.4.5.1.1

对 $- x$ 运用乘积法则。

$u = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.4.4.5.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.4.4.5.1.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.4.4.5.1.4

乘以 $- 4 \cdot - 2 \cdot 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.4.5.1.4.1

将 $- 4$ 乘以 $- 2$ 。

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.4.4.5.1.4.2

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.4.4.5.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{- 4}$

解题步骤 2.4.4.5.3

将负号移到分数的前面。

$u = - \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

解题步骤 2.4.4.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.4.6.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.4.6.1.1

对 $- x$ 运用乘积法则。

$u = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.4.4.6.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.4.4.6.1.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.4.4.6.1.4

乘以 $- 4 \cdot - 2 \cdot 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.4.6.1.4.1

将 $- 4$ 乘以 $- 2$ 。

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.4.4.6.1.4.2

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.4.4.6.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{- 4}$

解题步骤 2.4.4.6.3

将负号移到分数的前面。

$u = - \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

解题步骤 2.4.4.6.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$u = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

解题步骤 2.4.4.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.4.7.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.4.7.1.1

对 $- x$ 运用乘积法则。

$u = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.4.4.7.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.4.4.7.1.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.4.4.7.1.4

乘以 $- 4 \cdot - 2 \cdot 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.4.7.1.4.1

将 $- 4$ 乘以 $- 2$ 。

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.4.4.7.1.4.2

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.4.4.7.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{- 4}$

解题步骤 2.4.4.7.3

将负号移到分数的前面。

$u = - \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

解题步骤 2.4.4.7.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$u = - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

解题步骤 2.4.4.8

最终答案为两个解的组合。

$u = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

$u = - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

解题步骤 2.4.4.9

代入 $\sin (y)$ 替换 $u$ 。

$\sin (y) = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}, - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

解题步骤 2.4.4.10

建立每一个解以求解 $y$ 。

$\sin (y) = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

$\sin (y) = - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

解题步骤 2.4.4.11

在 $\sin (y) = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ 中求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.4.11.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $y$ 。

$y = \arcsin (- \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

解题步骤 2.4.4.11.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.4.11.2.1

化简 $\arcsin (- \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.4.11.2.1.1

分解分数 $\frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ 成为两个分数。

$y = \arcsin (- (\frac{x}{4} + \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4}))$

解题步骤 2.4.4.11.2.1.2

运用分配律。

$y = \arcsin (- \frac{x}{4} - \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

解题步骤 2.4.4.11.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.4.11.3.1

在公分母上合并分子。

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

解题步骤 2.4.4.12

在 $\sin (y) = - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ 中求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.4.12.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $y$ 。

$y = \arcsin (- \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

解题步骤 2.4.4.12.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.4.12.2.1

化简 $\arcsin (- \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.4.12.2.1.1

分解分数 $\frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ 成为两个分数。

$y = \arcsin (- (\frac{x}{4} + \frac{- \sqrt{x^{2} + 8}}{4}))$

解题步骤 2.4.4.12.2.1.2

将负号移到分数的前面。

$y = \arcsin (- (\frac{x}{4} - \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4}))$

解题步骤 2.4.4.12.2.1.3

运用分配律。

$y = \arcsin (- \frac{x}{4} - - \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

解题步骤 2.4.4.12.2.1.4

乘以 $- - \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.4.12.2.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \arcsin (- \frac{x}{4} + 1 \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

解题步骤 2.4.4.12.2.1.4.2

将 $\frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ 乘以 $1$ 。

$y = \arcsin (- \frac{x}{4} + \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

解题步骤 2.4.4.12.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.4.12.3.1

在公分母上合并分子。

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

解题步骤 2.4.4.13

列出所有解。

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ 是否为 $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ 的反函数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ 和 $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 4.2

求 $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ 的值域。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

解题步骤 4.3

Find the domain of the inverse.

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

求 $\arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ 的定义域。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.1

将 $\sqrt{x^{2} + 8}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x^{2} + 8 \geq 0$

解题步骤 4.3.1.2

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.2.1

从不等式两边同时减去 $8$ 。

$x^{2} \geq - 8$

解题步骤 4.3.1.2.2

因为左边为偶次幂，所以对所有实数都为正。

所有实数

解题步骤 4.3.1.3

将 $\arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ 的自变量设为大于或等于 $- 1$ ，以求使表达式有意义的区间。

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \geq - 1$

解题步骤 4.3.1.4

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.4.1

两边同时乘以 $4$ 。

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \geq - 1 \cdot 4$

解题步骤 4.3.1.4.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.4.2.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.4.2.1.1

约去 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.4.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \geq - 1 \cdot 4$

解题步骤 4.3.1.4.2.1.1.2

重写表达式。

$- x - \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 1 \cdot 4$

解题步骤 4.3.1.4.2.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.4.2.2.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- x - \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 4$

解题步骤 4.3.1.4.3

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.4.3.1

在不等式两边同时加上 $x$ 。

$- \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 4 + x$

解题步骤 4.3.1.4.3.2

要去掉不等式左边的根式，请对不等式两边进行立方。

${(- \sqrt{x^{2} + 8})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

解题步骤 4.3.1.4.3.3

化简不等式的两边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.4.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 8}$ 重写成 ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

解题步骤 4.3.1.4.3.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.4.3.3.2.1

化简 ${(- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.4.3.3.2.1.1

对 $- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{2} {({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

解题步骤 4.3.1.4.3.3.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 {({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

解题步骤 4.3.1.4.3.3.2.1.3

将 ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 乘以 $1$ 。

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

解题步骤 4.3.1.4.3.3.2.1.4

将 ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.4.3.3.2.1.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

解题步骤 4.3.1.4.3.3.2.1.4.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.4.3.3.2.1.4.2.1

约去公因数。

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

解题步骤 4.3.1.4.3.3.2.1.4.2.2

重写表达式。

${(x^{2} + 8)}^{1} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

解题步骤 4.3.1.4.3.3.2.1.5

化简。

$x^{2} + 8 \geq {(- 4 + x)}^{2}$

解题步骤 4.3.1.4.3.3.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.4.3.3.3.1

化简 ${(- 4 + x)}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.4.3.3.3.1.1

将 ${(- 4 + x)}^{2}$ 重写为 $(- 4 + x) (- 4 + x)$ 。

$x^{2} + 8 \geq (- 4 + x) (- 4 + x)$

解题步骤 4.3.1.4.3.3.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(- 4 + x) (- 4 + x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.4.3.3.3.1.2.1

运用分配律。

$x^{2} + 8 \geq - 4 (- 4 + x) + x (- 4 + x)$

解题步骤 4.3.1.4.3.3.3.1.2.2

运用分配律。

$x^{2} + 8 \geq - 4 \cdot - 4 - 4 x + x (- 4 + x)$

解题步骤 4.3.1.4.3.3.3.1.2.3

运用分配律。

$x^{2} + 8 \geq - 4 \cdot - 4 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x$

解题步骤 4.3.1.4.3.3.3.1.3

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.4.3.3.3.1.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.4.3.3.3.1.3.1.1

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x$

解题步骤 4.3.1.4.3.3.3.1.3.1.2

将 $- 4$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x - 4 \cdot x + x \cdot x$

解题步骤 4.3.1.4.3.3.3.1.3.1.3

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x - 4 x + x^{2}$

解题步骤 4.3.1.4.3.3.3.1.3.2

从 $- 4 x$ 中减去 $4 x$ 。

$x^{2} + 8 \geq 16 - 8 x + x^{2}$

解题步骤 4.3.1.4.3.4

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.4.3.4.1

重写为 $x$ 在不等式左边的形式。

$16 - 8 x + x^{2} \leq x^{2} + 8$

解题步骤 4.3.1.4.3.4.2

将所有包含 $x$ 的项移到不等式左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.4.3.4.2.1

从不等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$16 - 8 x + x^{2} - x^{2} \leq 8$

解题步骤 4.3.1.4.3.4.2.2

合并 $16 - 8 x + x^{2} - x^{2}$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.4.3.4.2.2.1

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$16 - 8 x + 0 \leq 8$

解题步骤 4.3.1.4.3.4.2.2.2

将 $16 - 8 x$ 和 $0$ 相加。

$16 - 8 x \leq 8$

解题步骤 4.3.1.4.3.4.3

将所有不包含 $x$ 的项移到不等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.4.3.4.3.1

从不等式两边同时减去 $16$ 。

$- 8 x \leq 8 - 16$

解题步骤 4.3.1.4.3.4.3.2

从 $8$ 中减去 $16$ 。

$- 8 x \leq - 8$

解题步骤 4.3.1.4.3.4.4

将 $- 8 x \leq - 8$ 中的每一项除以 $- 8$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.4.3.4.4.1

将 $- 8 x \leq - 8$ 中的每一项除以 $- 8$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- 8 x}{- 8} \geq \frac{- 8}{- 8}$

解题步骤 4.3.1.4.3.4.4.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.4.3.4.4.2.1

约去 $- 8$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.4.3.4.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 8 x}{- 8} \geq \frac{- 8}{- 8}$

解题步骤 4.3.1.4.3.4.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{- 8}{- 8}$

解题步骤 4.3.1.4.3.4.4.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.4.3.4.4.3.1

用 $- 8$ 除以 $- 8$ 。

$x \geq 1$

解题步骤 4.3.1.4.4

解由使等式成立的所有区间组成。

$x \leq 1$

解题步骤 4.3.1.5

将 $\arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ 的自变量设为小于或等于 $1$ ，以求使表达式有意义的区间。

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \leq 1$

解题步骤 4.3.1.6

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.6.1

两边同时乘以 $4$ 。

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \leq 1 \cdot 4$

解题步骤 4.3.1.6.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.6.2.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.6.2.1.1

约去 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.6.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \leq 1 \cdot 4$

解题步骤 4.3.1.6.2.1.1.2

重写表达式。

$- x - \sqrt{x^{2} + 8} \leq 1 \cdot 4$

解题步骤 4.3.1.6.2.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.6.2.2.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$- x - \sqrt{x^{2} + 8} \leq 4$

解题步骤 4.3.1.6.3

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.6.3.1

在不等式两边同时加上 $x$ 。

$- \sqrt{x^{2} + 8} \leq 4 + x$

解题步骤 4.3.1.6.3.2

要去掉不等式左边的根式，请对不等式两边进行立方。

${(- \sqrt{x^{2} + 8})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

解题步骤 4.3.1.6.3.3

化简不等式的两边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.6.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 8}$ 重写成 ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

解题步骤 4.3.1.6.3.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.6.3.3.2.1

化简 ${(- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.6.3.3.2.1.1

对 $- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{2} {({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

解题步骤 4.3.1.6.3.3.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 {({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

解题步骤 4.3.1.6.3.3.2.1.3

将 ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 乘以 $1$ 。

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

解题步骤 4.3.1.6.3.3.2.1.4

将 ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.6.3.3.2.1.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 + x)}^{2}$

解题步骤 4.3.1.6.3.3.2.1.4.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.6.3.3.2.1.4.2.1

约去公因数。

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 + x)}^{2}$

解题步骤 4.3.1.6.3.3.2.1.4.2.2

重写表达式。

${(x^{2} + 8)}^{1} \leq {(4 + x)}^{2}$

解题步骤 4.3.1.6.3.3.2.1.5

化简。

$x^{2} + 8 \leq {(4 + x)}^{2}$

解题步骤 4.3.1.6.3.3.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.6.3.3.3.1

化简 ${(4 + x)}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.6.3.3.3.1.1

将 ${(4 + x)}^{2}$ 重写为 $(4 + x) (4 + x)$ 。

$x^{2} + 8 \leq (4 + x) (4 + x)$

解题步骤 4.3.1.6.3.3.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(4 + x) (4 + x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.6.3.3.3.1.2.1

运用分配律。

$x^{2} + 8 \leq 4 (4 + x) + x (4 + x)$

解题步骤 4.3.1.6.3.3.3.1.2.2

运用分配律。

$x^{2} + 8 \leq 4 \cdot 4 + 4 x + x (4 + x)$

解题步骤 4.3.1.6.3.3.3.1.2.3

运用分配律。

$x^{2} + 8 \leq 4 \cdot 4 + 4 x + x \cdot 4 + x \cdot x$

解题步骤 4.3.1.6.3.3.3.1.3

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.6.3.3.3.1.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.6.3.3.3.1.3.1.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + x \cdot 4 + x \cdot x$

解题步骤 4.3.1.6.3.3.3.1.3.1.2

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + 4 \cdot x + x \cdot x$

解题步骤 4.3.1.6.3.3.3.1.3.1.3

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + 4 x + x^{2}$

解题步骤 4.3.1.6.3.3.3.1.3.2

将 $4 x$ 和 $4 x$ 相加。

$x^{2} + 8 \leq 16 + 8 x + x^{2}$

解题步骤 4.3.1.6.3.4

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.6.3.4.1

重写为 $x$ 在不等式左边的形式。

$16 + 8 x + x^{2} \geq x^{2} + 8$

解题步骤 4.3.1.6.3.4.2

将所有包含 $x$ 的项移到不等式左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.6.3.4.2.1

从不等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$16 + 8 x + x^{2} - x^{2} \geq 8$

解题步骤 4.3.1.6.3.4.2.2

合并 $16 + 8 x + x^{2} - x^{2}$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.6.3.4.2.2.1

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$16 + 8 x + 0 \geq 8$

解题步骤 4.3.1.6.3.4.2.2.2

将 $16 + 8 x$ 和 $0$ 相加。

$16 + 8 x \geq 8$

解题步骤 4.3.1.6.3.4.3

将所有不包含 $x$ 的项移到不等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.6.3.4.3.1

从不等式两边同时减去 $16$ 。

$8 x \geq 8 - 16$

解题步骤 4.3.1.6.3.4.3.2

从 $8$ 中减去 $16$ 。

$8 x \geq - 8$

解题步骤 4.3.1.6.3.4.4

将 $8 x \geq - 8$ 中的每一项除以 $8$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.6.3.4.4.1

将 $8 x \geq - 8$ 中的每一项都除以 $8$ 。

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 8}{8}$

解题步骤 4.3.1.6.3.4.4.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.6.3.4.4.2.1

约去 $8$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.6.3.4.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 8}{8}$

解题步骤 4.3.1.6.3.4.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{- 8}{8}$

解题步骤 4.3.1.6.3.4.4.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.6.3.4.4.3.1

用 $- 8$ 除以 $8$ 。

$x \geq - 1$

解题步骤 4.3.1.6.4

使用每一个根建立验证区间。

$x < - 1$

$x > - 1$

解题步骤 4.3.1.6.5

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.6.5.1

检验区间 $x < - 1$ 上的值是否使不等式成立。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.6.5.1.1

选择区间 $x < - 1$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = - 4$

解题步骤 4.3.1.6.5.1.2

使用原不等式中的 $- 4$ 替换 $x$ 。

$\frac{- (- 4) - \sqrt{{(- 4)}^{2} + 8}}{4} \leq 1$

解题步骤 4.3.1.6.5.1.3

左边的 $- 0.22474487$ 小于右边的 $1$ ，即给定的命题恒为真命题。

真

解题步骤 4.3.1.6.5.2

检验区间 $x > - 1$ 上的值是否使不等式成立。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.6.5.2.1

选择区间 $x > - 1$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 0$

解题步骤 4.3.1.6.5.2.2

使用原不等式中的 $0$ 替换 $x$ 。

$\frac{- (0) - \sqrt{{(0)}^{2} + 8}}{4} \leq 1$

解题步骤 4.3.1.6.5.2.3

左边的 $- 0.70710678$ 小于右边的 $1$ ，即给定的命题恒为真命题。

真

解题步骤 4.3.1.6.5.3

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$x < - 1$ 为真

$x > - 1$ 为真

$x < - 1$ 为真

$x > - 1$ 为真

解题步骤 4.3.1.6.6

解由使等式成立的所有区间组成。

$x \leq - 1$ 或 $x \geq - 1$

解题步骤 4.3.1.6.7

合并区间。

所有实数

解题步骤 4.3.1.7

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$(- \infty, 1]$

解题步骤 4.3.2

求 $\arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ 的定义域。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.1

将 $\sqrt{x^{2} + 8}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x^{2} + 8 \geq 0$

解题步骤 4.3.2.2

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.2.1

从不等式两边同时减去 $8$ 。

$x^{2} \geq - 8$

解题步骤 4.3.2.2.2

因为左边为偶次幂，所以对所有实数都为正。

所有实数

解题步骤 4.3.2.3

将 $\arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ 的自变量设为大于或等于 $- 1$ ，以求使表达式有意义的区间。

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \geq - 1$

解题步骤 4.3.2.4

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.4.1

两边同时乘以 $4$ 。

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \geq - 1 \cdot 4$

解题步骤 4.3.2.4.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.4.2.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.4.2.1.1

约去 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.4.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \geq - 1 \cdot 4$

解题步骤 4.3.2.4.2.1.1.2

重写表达式。

$- x + \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 1 \cdot 4$

解题步骤 4.3.2.4.2.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.4.2.2.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- x + \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 4$

解题步骤 4.3.2.4.3

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.4.3.1

在不等式两边同时加上 $x$ 。

$\sqrt{x^{2} + 8} \geq - 4 + x$

解题步骤 4.3.2.4.3.2

要去掉不等式左边的根式，请对不等式两边进行立方。

${\sqrt{x^{2} + 8}}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.4.3.3

化简不等式的两边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.4.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 8}$ 重写成 ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.4.3.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.4.3.3.2.1

化简 ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.4.3.3.2.1.1

将 ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.4.3.3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.4.3.3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.4.3.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.4.3.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(x^{2} + 8)}^{1} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.4.3.3.2.1.2

化简。

$x^{2} + 8 \geq {(- 4 + x)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.4.3.3.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.4.3.3.3.1

化简 ${(- 4 + x)}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.4.3.3.3.1.1

将 ${(- 4 + x)}^{2}$ 重写为 $(- 4 + x) (- 4 + x)$ 。

$x^{2} + 8 \geq (- 4 + x) (- 4 + x)$

解题步骤 4.3.2.4.3.3.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(- 4 + x) (- 4 + x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.4.3.3.3.1.2.1

运用分配律。

$x^{2} + 8 \geq - 4 (- 4 + x) + x (- 4 + x)$

解题步骤 4.3.2.4.3.3.3.1.2.2

运用分配律。

$x^{2} + 8 \geq - 4 \cdot - 4 - 4 x + x (- 4 + x)$

解题步骤 4.3.2.4.3.3.3.1.2.3

运用分配律。

$x^{2} + 8 \geq - 4 \cdot - 4 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x$

解题步骤 4.3.2.4.3.3.3.1.3

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.4.3.3.3.1.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.4.3.3.3.1.3.1.1

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x$

解题步骤 4.3.2.4.3.3.3.1.3.1.2

将 $- 4$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x - 4 \cdot x + x \cdot x$

解题步骤 4.3.2.4.3.3.3.1.3.1.3

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x - 4 x + x^{2}$

解题步骤 4.3.2.4.3.3.3.1.3.2

从 $- 4 x$ 中减去 $4 x$ 。

$x^{2} + 8 \geq 16 - 8 x + x^{2}$

解题步骤 4.3.2.4.3.4

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.4.3.4.1

重写为 $x$ 在不等式左边的形式。

$16 - 8 x + x^{2} \leq x^{2} + 8$

解题步骤 4.3.2.4.3.4.2

将所有包含 $x$ 的项移到不等式左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.4.3.4.2.1

从不等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$16 - 8 x + x^{2} - x^{2} \leq 8$

解题步骤 4.3.2.4.3.4.2.2

合并 $16 - 8 x + x^{2} - x^{2}$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.4.3.4.2.2.1

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$16 - 8 x + 0 \leq 8$

解题步骤 4.3.2.4.3.4.2.2.2

将 $16 - 8 x$ 和 $0$ 相加。

$16 - 8 x \leq 8$

解题步骤 4.3.2.4.3.4.3

将所有不包含 $x$ 的项移到不等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.4.3.4.3.1

从不等式两边同时减去 $16$ 。

$- 8 x \leq 8 - 16$

解题步骤 4.3.2.4.3.4.3.2

从 $8$ 中减去 $16$ 。

$- 8 x \leq - 8$

解题步骤 4.3.2.4.3.4.4

将 $- 8 x \leq - 8$ 中的每一项除以 $- 8$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.4.3.4.4.1

将 $- 8 x \leq - 8$ 中的每一项除以 $- 8$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- 8 x}{- 8} \geq \frac{- 8}{- 8}$

解题步骤 4.3.2.4.3.4.4.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.4.3.4.4.2.1

约去 $- 8$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.4.3.4.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 8 x}{- 8} \geq \frac{- 8}{- 8}$

解题步骤 4.3.2.4.3.4.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{- 8}{- 8}$

解题步骤 4.3.2.4.3.4.4.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.4.3.4.4.3.1

用 $- 8$ 除以 $- 8$ 。

$x \geq 1$

解题步骤 4.3.2.4.4

使用每一个根建立验证区间。

$x < 1$

$x > 1$

解题步骤 4.3.2.4.5

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.4.5.1

检验区间 $x < 1$ 上的值是否使不等式成立。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.4.5.1.1

选择区间 $x < 1$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 0$

解题步骤 4.3.2.4.5.1.2

使用原不等式中的 $0$ 替换 $x$ 。

$\frac{- (0) + \sqrt{{(0)}^{2} + 8}}{4} \geq - 1$

解题步骤 4.3.2.4.5.1.3

左边的 $0.70710678$ 大于右边的 $- 1$ ，即给定的命题恒为真命题。

真

解题步骤 4.3.2.4.5.2

检验区间 $x > 1$ 上的值是否使不等式成立。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.4.5.2.1

选择区间 $x > 1$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 4$

解题步骤 4.3.2.4.5.2.2

使用原不等式中的 $4$ 替换 $x$ 。

$\frac{- (4) + \sqrt{{(4)}^{2} + 8}}{4} \geq - 1$

解题步骤 4.3.2.4.5.2.3

左边的 $0.22474487$ 大于右边的 $- 1$ ，即给定的命题恒为真命题。

真

解题步骤 4.3.2.4.5.3

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$x < 1$ 为真

$x > 1$ 为真

$x < 1$ 为真

$x > 1$ 为真

解题步骤 4.3.2.4.6

解由使等式成立的所有区间组成。

$x \leq 1$ 或 $x \geq 1$

解题步骤 4.3.2.4.7

合并区间。

所有实数

解题步骤 4.3.2.5

将 $\arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ 的自变量设为小于或等于 $1$ ，以求使表达式有意义的区间。

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \leq 1$

解题步骤 4.3.2.6

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.6.1

两边同时乘以 $4$ 。

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \leq 1 \cdot 4$

解题步骤 4.3.2.6.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.6.2.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.6.2.1.1

约去 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.6.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \leq 1 \cdot 4$

解题步骤 4.3.2.6.2.1.1.2

重写表达式。

$- x + \sqrt{x^{2} + 8} \leq 1 \cdot 4$

解题步骤 4.3.2.6.2.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.6.2.2.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$- x + \sqrt{x^{2} + 8} \leq 4$

解题步骤 4.3.2.6.3

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.6.3.1

在不等式两边同时加上 $x$ 。

$\sqrt{x^{2} + 8} \leq 4 + x$

解题步骤 4.3.2.6.3.2

要去掉不等式左边的根式，请对不等式两边进行立方。

${\sqrt{x^{2} + 8}}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.6.3.3

化简不等式的两边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.6.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 8}$ 重写成 ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.6.3.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.6.3.3.2.1

化简 ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.6.3.3.2.1.1

将 ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.6.3.3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 + x)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.6.3.3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.6.3.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 + x)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.6.3.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(x^{2} + 8)}^{1} \leq {(4 + x)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.6.3.3.2.1.2

化简。

$x^{2} + 8 \leq {(4 + x)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.6.3.3.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.6.3.3.3.1

化简 ${(4 + x)}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.6.3.3.3.1.1

将 ${(4 + x)}^{2}$ 重写为 $(4 + x) (4 + x)$ 。

$x^{2} + 8 \leq (4 + x) (4 + x)$

解题步骤 4.3.2.6.3.3.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(4 + x) (4 + x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.6.3.3.3.1.2.1

运用分配律。

$x^{2} + 8 \leq 4 (4 + x) + x (4 + x)$

解题步骤 4.3.2.6.3.3.3.1.2.2

运用分配律。

$x^{2} + 8 \leq 4 \cdot 4 + 4 x + x (4 + x)$

解题步骤 4.3.2.6.3.3.3.1.2.3

运用分配律。

$x^{2} + 8 \leq 4 \cdot 4 + 4 x + x \cdot 4 + x \cdot x$

解题步骤 4.3.2.6.3.3.3.1.3

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.6.3.3.3.1.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.6.3.3.3.1.3.1.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + x \cdot 4 + x \cdot x$

解题步骤 4.3.2.6.3.3.3.1.3.1.2

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + 4 \cdot x + x \cdot x$

解题步骤 4.3.2.6.3.3.3.1.3.1.3

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + 4 x + x^{2}$

解题步骤 4.3.2.6.3.3.3.1.3.2

将 $4 x$ 和 $4 x$ 相加。

$x^{2} + 8 \leq 16 + 8 x + x^{2}$

解题步骤 4.3.2.6.3.4

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.6.3.4.1

重写为 $x$ 在不等式左边的形式。

$16 + 8 x + x^{2} \geq x^{2} + 8$

解题步骤 4.3.2.6.3.4.2

将所有包含 $x$ 的项移到不等式左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.6.3.4.2.1

从不等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$16 + 8 x + x^{2} - x^{2} \geq 8$

解题步骤 4.3.2.6.3.4.2.2

合并 $16 + 8 x + x^{2} - x^{2}$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.6.3.4.2.2.1

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$16 + 8 x + 0 \geq 8$

解题步骤 4.3.2.6.3.4.2.2.2

将 $16 + 8 x$ 和 $0$ 相加。

$16 + 8 x \geq 8$

解题步骤 4.3.2.6.3.4.3

将所有不包含 $x$ 的项移到不等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.6.3.4.3.1

从不等式两边同时减去 $16$ 。

$8 x \geq 8 - 16$

解题步骤 4.3.2.6.3.4.3.2

从 $8$ 中减去 $16$ 。

$8 x \geq - 8$

解题步骤 4.3.2.6.3.4.4

将 $8 x \geq - 8$ 中的每一项除以 $8$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.6.3.4.4.1

将 $8 x \geq - 8$ 中的每一项都除以 $8$ 。

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 8}{8}$

解题步骤 4.3.2.6.3.4.4.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.6.3.4.4.2.1

约去 $8$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.6.3.4.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 8}{8}$

解题步骤 4.3.2.6.3.4.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{- 8}{8}$

解题步骤 4.3.2.6.3.4.4.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.6.3.4.4.3.1

用 $- 8$ 除以 $8$ 。

$x \geq - 1$

解题步骤 4.3.2.7

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$[- 1, \infty)$

解题步骤 4.3.3

求 $(- \infty, 1], [- 1, \infty)$ 的并集。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.3.1

并集由包含在每一区间的所有元素组成。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 4.4

因为 $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ 的定义域并不等于 $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ 的值域，所以 $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ 并非 $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ 的反函数。

不存在反函数

解题步骤 5

三角学 示例

三角学示例