三角学示例

$\frac{2 \sin (y)}{\sin (2 y)} + \frac{1}{\cos (y)}$

解题步骤 1

将方程重写为 $\frac{2 \sin (y)}{\sin (2 y)} + \frac{1}{\cos (y)} = x$ 。

$\frac{2 \sin (y)}{\sin (2 y)} + \frac{1}{\cos (y)} = x$

解题步骤 2

化简左边。

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解题步骤 2.1

化简 $\frac{2 \sin (y)}{\sin (2 y)} + \frac{1}{\cos (y)}$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

使用正弦倍角公式。

$\frac{2 \sin (y)}{2 \sin (y) \cos (y)} + \frac{1}{\cos (y)} = x$

解题步骤 2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.2.1

约去公因数。

$\frac{2 \sin (y)}{2 \sin (y) \cos (y)} + \frac{1}{\cos (y)} = x$

解题步骤 2.1.1.2.2

重写表达式。

$\frac{\sin (y)}{\sin (y) \cos (y)} + \frac{1}{\cos (y)} = x$

解题步骤 2.1.1.3

约去 $\sin (y)$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.3.1

约去公因数。

$\frac{\sin (y)}{\sin (y) \cos (y)} + \frac{1}{\cos (y)} = x$

解题步骤 2.1.1.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{\cos (y)} + \frac{1}{\cos (y)} = x$

解题步骤 2.1.1.4

将 $\frac{1}{\cos (y)}$ 转换成 $\sec (y)$ 。

$\sec (y) + \frac{1}{\cos (y)} = x$

解题步骤 2.1.1.5

将 $\frac{1}{\cos (y)}$ 转换成 $\sec (y)$ 。

$\sec (y) + \sec (y) = x$

解题步骤 2.1.2

将 $\sec (y)$ 和 $\sec (y)$ 相加。

$2 \sec (y) = x$

解题步骤 3

将 $2 \sec (y) = x$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.1

将 $2 \sec (y) = x$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \sec (y)}{2} = \frac{x}{2}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \sec (y)}{2} = \frac{x}{2}$

解题步骤 3.2.1.2

用 $\sec (y)$ 除以 $1$ 。

$\sec (y) = \frac{x}{2}$

解题步骤 4

对方程两边取反正割以便从正割中提出 $y$ 。

$y = arcsec (\frac{x}{2})$

解题步骤 5

交换变量。

$x = arcsec (\frac{y}{2})$

解题步骤 6

求解 $y$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $arcsec (\frac{y}{2}) = x$ 。

$arcsec (\frac{y}{2}) = x$

解题步骤 6.2

对方程两边同时取反正割的逆函数，从而将 $y$ 从反正割里面提取出来。

$\frac{y}{2} = \sec (x)$

解题步骤 6.3

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{y}{2} = 2 \sec (x)$

解题步骤 6.4

化简左边。

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解题步骤 6.4.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.1.1

约去公因数。

$2 \frac{y}{2} = 2 \sec (x)$

解题步骤 6.4.1.2

重写表达式。

$y = 2 \sec (x)$

解题步骤 7

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 2 \sec (x)$

解题步骤 8

验证 $f^{- 1} (x) = 2 \sec (x)$ 是否为 $f (x) = arcsec (\frac{x}{2})$ 的反函数。

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解题步骤 8.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 8.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 8.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 8.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (arcsec (\frac{x}{2}))$ 。

$f^{- 1} (arcsec (\frac{x}{2})) = 2 \sec (arcsec (\frac{x}{2}))$

解题步骤 8.2.3

正割函数和反正割函数互为反函数。

$f^{- 1} (arcsec (\frac{x}{2})) = 2 (\frac{x}{2})$

解题步骤 8.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (arcsec (\frac{x}{2})) = 2 (\frac{x}{2})$

解题步骤 8.2.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (arcsec (\frac{x}{2})) = x$

解题步骤 8.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 8.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 8.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (2 \sec (x))$ 。

$f (2 \sec (x)) = arcsec (\frac{2 \sec (x)}{2})$

解题步骤 8.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.3.1

约去公因数。

$f (2 \sec (x)) = arcsec (\frac{2 \sec (x)}{2})$

解题步骤 8.3.3.2

用 $\sec (x)$ 除以 $1$ 。

$f (2 \sec (x)) = arcsec (\sec (x))$

解题步骤 8.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = 2 \sec (x)$ 为 $f (x) = arcsec (\frac{x}{2})$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = 2 \sec (x)$

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