三角学示例

$\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} = x$ 。

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} = x$

解题步骤 2.2

两边同时乘以 $1 + \cot (y)$ 。

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} (1 + \cot (y)) = x (1 + \cot (y))$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

化简左边。

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解题步骤 2.3.1.1

化简 $\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} (1 + \cot (y))$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

约去 $1 + \cot (y)$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} (1 + \cot (y)) = x (1 + \cot (y))$

解题步骤 2.3.1.1.1.2

重写表达式。

$1 - \cot (- y) = x (1 + \cot (y))$

解题步骤 2.3.1.1.2

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1.2.1

因为 $\cot (- y)$ 是一个奇函数，所以将 $\cot (- y)$ 重写成 $- \cot (y)$ 。

$1 - - \cot (y) = x (1 + \cot (y))$

解题步骤 2.3.1.1.2.2

乘以 $- - \cot (y)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.2.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 + 1 \cot (y) = x (1 + \cot (y))$

解题步骤 2.3.1.1.2.2.2

将 $\cot (y)$ 乘以 $1$ 。

$1 + \cot (y) = x (1 + \cot (y))$

解题步骤 2.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.1

化简 $x (1 + \cot (y))$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

运用分配律。

$1 + \cot (y) = x \cdot 1 + x \cot (y)$

解题步骤 2.3.2.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$1 + \cot (y) = x + x \cot (y)$

解题步骤 2.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.4.1

代入 $u$ 替换 $\cot (y)$ 。

$1 + u = x + x (u)$

解题步骤 2.4.2

从等式两边同时减去 $x u$ 。

$1 + u - x u = x$

解题步骤 2.4.3

从等式两边同时减去 $1$ 。

$u - x u = x - 1$

解题步骤 2.4.4

从 $u - x u$ 中分解出因数 $u$ 。

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解题步骤 2.4.4.1

从 $u^{1}$ 中分解出因数 $u$ 。

$u \cdot 1 - x u = x - 1$

解题步骤 2.4.4.2

从 $- x u$ 中分解出因数 $u$ 。

$u \cdot 1 + u (- x) = x - 1$

解题步骤 2.4.4.3

从 $u \cdot 1 + u (- x)$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (1 - x) = x - 1$

解题步骤 2.4.5

将 $u (1 - x) = x - 1$ 中的每一项除以 $1 - x$ 并化简。

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解题步骤 2.4.5.1

将 $u (1 - x) = x - 1$ 中的每一项都除以 $1 - x$ 。

$\frac{u (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

解题步骤 2.4.5.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.5.2.1

约去 $1 - x$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{u (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

解题步骤 2.4.5.2.1.2

用 $u$ 除以 $1$ 。

$u = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

解题步骤 2.4.5.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.5.3.1

在公分母上合并分子。

$u = \frac{x - 1}{1 - x}$

解题步骤 2.4.5.3.2

约去 $x - 1$ 和 $1 - x$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.5.3.2.1

从 $x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$u = \frac{- 1 (- x) - 1}{1 - x}$

解题步骤 2.4.5.3.2.2

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$u = \frac{- 1 (- x) - 1 (1)}{1 - x}$

解题步骤 2.4.5.3.2.3

从 $- 1 (- x) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{1 - x}$

解题步骤 2.4.5.3.2.4

重新排序项。

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{- x + 1}$

解题步骤 2.4.5.3.2.5

约去公因数。

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{- x + 1}$

解题步骤 2.4.5.3.2.6

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$u = - 1$

解题步骤 2.4.6

代入 $\cot (y)$ 替换 $u$ 。

$\cot (y) = - 1$

解题步骤 2.4.7

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $y$ 。

$y = arccot (- 1)$

解题步骤 2.4.8

化简右边。

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解题步骤 2.4.8.1

$arccot (- 1)$ 的准确值为 $\frac{3 π}{4}$ 。

$y = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 2.4.9

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$y = \frac{3 π}{4} - π$

解题步骤 2.4.10

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 2.4.10.1

将 $2 π$ 加上 $\frac{3 π}{4} - π$ 。

$y = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

解题步骤 2.4.10.2

得出的角 $\frac{7 π}{4}$ 是正角度且与 $\frac{3 π}{4} - π$ 共边。

$y = \frac{7 π}{4}$

解题步骤 2.4.11

求 $\cot (y)$ 的周期。

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解题步骤 2.4.11.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 2.4.11.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 2.4.11.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 2.4.11.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 2.4.12

$\cot (y)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$y = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.5

合并答案。

$y = \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$ 是否为 $f (x) = \frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)})$ 。

$f^{- 1} (\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}) = \frac{3 π}{4} + π n$

解题步骤 4.2.3

将 $\frac{3 π}{4}$ 和 $π n$ 重新排序。

$f^{- 1} (\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}) = π n + \frac{3 π}{4}$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{3 π}{4} + π n)$ 。

$f (\frac{3 π}{4} + π n) = \frac{1 - \cot (- (\frac{3 π}{4} + π n))}{1 + \cot (\frac{3 π}{4} + π n)}$

解题步骤 4.3.3

运用分配律。

$f (\frac{3 π}{4} + π n) = \frac{1 - \cot (- \frac{3 π}{4} - π n)}{1 + \cot (\frac{3 π}{4} + π n)}$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$ 为 $f (x) = \frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$

三角学 示例

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