三角学示例

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{y} = 1 - \frac{1}{x}$

解题步骤 2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$y, 1, x$

解题步骤 2.2

Since $y, 1, x$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{1}, x^{1}$ .

解题步骤 2.3

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 2.4

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 2.5

$1, 1, 1$ 的最小公倍数是将在任一数中出现次数最多的所有质因数相乘的结果。

$1$

解题步骤 2.6

$y^{1}$ 的因式是 $y$ 本身。

$y^{1} = y$

$y$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 2.7

$x^{1}$ 的因式是 $x$ 本身。

$x^{1} = x$

$x$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 2.8

$y^{1}, x^{1}$ 的最小公倍数为在任一数中出现次数最多的所有质因数的乘积。

$y \cdot x$

解题步骤 2.9

将 $y$ 乘以 $x$ 。

$y x$

解题步骤 3

将 $\frac{1}{y} = 1 - \frac{1}{x}$ 中的每一项乘以 $y x$ 以消去分数。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{y} = 1 - \frac{1}{x}$ 中的每一项乘以 $y x$ 。

$\frac{1}{y} (y x) = 1 (y x) - \frac{1}{x} (y x)$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

从 $y x$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y} (y (x)) = 1 (y x) - \frac{1}{x} (y x)$

解题步骤 3.2.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{y} (y x) = 1 (y x) - \frac{1}{x} (y x)$

解题步骤 3.2.1.3

重写表达式。

$x = 1 (y x) - \frac{1}{x} (y x)$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.1

将 $y x$ 乘以 $1$ 。

$x = y x - \frac{1}{x} (y x)$

解题步骤 3.3.1.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.2.1

将 $- \frac{1}{x}$ 中前置负号移到分子中。

$x = y x + \frac{- 1}{x} (y x)$

解题步骤 3.3.1.2.2

从 $y x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x = y x + \frac{- 1}{x} (x y)$

解题步骤 3.3.1.2.3

约去公因数。

$x = y x + \frac{- 1}{x} (x y)$

解题步骤 3.3.1.2.4

重写表达式。

$x = y x - y$

解题步骤 4

求解方程。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $y x - y = x$ 。

$y x - y = x$

解题步骤 4.2

从 $y x - y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 4.2.1

从 $y x$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (x) - y = x$

解题步骤 4.2.2

从 $- y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (x) + y \cdot - 1 = x$

解题步骤 4.2.3

从 $y (x) + y \cdot - 1$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (x - 1) = x$

解题步骤 4.3

将 $y (x - 1) = x$ 中的每一项除以 $x - 1$ 并化简。

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解题步骤 4.3.1

将 $y (x - 1) = x$ 中的每一项都除以 $x - 1$ 。

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

解题步骤 4.3.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.2.1

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

解题步骤 4.3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x}{x - 1}$

解题步骤 5

交换变量。

$x = \frac{y}{y - 1}$

解题步骤 6

求解 $y$ 。

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解题步骤 6.1

将方程乘以 $y - 1$ 。

$(y - 1) (x) = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

解题步骤 6.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.1

化简 $(y - 1) (x)$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

运用分配律。

$y x - 1 x = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$y x - x = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

解题步骤 6.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.1

约去 $y - 1$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1.1

约去公因数。

$y x - x = \frac{y}{y - 1} (y - 1)$

解题步骤 6.3.1.2

重写表达式。

$y x - x = y$

解题步骤 6.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 6.4.1

从等式两边同时减去 $y$ 。

$y x - x - y = 0$

解题步骤 6.4.2

在等式两边都加上 $x$ 。

$y x - y = x$

解题步骤 6.4.3

从 $y x - y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 6.4.3.1

从 $y x$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (x) - y = x$

解题步骤 6.4.3.2

从 $- y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (x) + y \cdot - 1 = x$

解题步骤 6.4.3.3

从 $y (x) + y \cdot - 1$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (x - 1) = x$

解题步骤 6.4.4

将 $y (x - 1) = x$ 中的每一项除以 $x - 1$ 并化简。

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解题步骤 6.4.4.1

将 $y (x - 1) = x$ 中的每一项都除以 $x - 1$ 。

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

解题步骤 6.4.4.2

化简左边。

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解题步骤 6.4.4.2.1

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

解题步骤 6.4.4.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x}{x - 1}$

解题步骤 7

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$

解题步骤 8

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$ 是否为 $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ 的反函数。

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解题步骤 8.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 8.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 8.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 8.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{x}{x - 1})$ 。

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{\frac{x}{x - 1}}{(\frac{x}{x - 1}) - 1}$

解题步骤 8.2.3

将分子乘以分母的倒数。

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1}$

解题步骤 8.2.4

化简分母。

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解题步骤 8.2.4.1

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 。

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

解题步骤 8.2.4.2

组合 $- 1$ 和 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 。

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}}$

解题步骤 8.2.4.3

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x - 1}}$

解题步骤 8.2.4.4

以因式分解的形式重写 $\frac{x - (x - 1)}{x - 1}$ 。

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解题步骤 8.2.4.4.1

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

解题步骤 8.2.4.4.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

解题步骤 8.2.4.4.3

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{x - 1}}$

解题步骤 8.2.4.4.4

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{x - 1}}$

解题步骤 8.2.5

将分子乘以分母的倒数。

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (1 (x - 1))$

解题步骤 8.2.6

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.6.1

从 $1 (x - 1)$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

解题步骤 8.2.6.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

解题步骤 8.2.6.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = x$

解题步骤 8.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 8.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 8.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{x}{x - 1})$ 。

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{\frac{x}{x - 1}}{(\frac{x}{x - 1}) - 1}$

解题步骤 8.3.3

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1}$

解题步骤 8.3.4

化简分母。

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解题步骤 8.3.4.1

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 。

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

解题步骤 8.3.4.2

组合 $- 1$ 和 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 。

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}}$

解题步骤 8.3.4.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x - 1}}$

解题步骤 8.3.4.4

以因式分解的形式重写 $\frac{x - (x - 1)}{x - 1}$ 。

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解题步骤 8.3.4.4.1

运用分配律。

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

解题步骤 8.3.4.4.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

解题步骤 8.3.4.4.3

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{x - 1}}$

解题步骤 8.3.4.4.4

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{x - 1}}$

解题步骤 8.3.5

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (1 (x - 1))$

解题步骤 8.3.6

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.6.1

从 $1 (x - 1)$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

解题步骤 8.3.6.2

约去公因数。

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

解题步骤 8.3.6.3

重写表达式。

$f (\frac{x}{x - 1}) = x$

解题步骤 8.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$ 为 $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$

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