三角学示例

$\frac{1}{16} x^{2} - 49$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \frac{1}{16} y^{2} - 49$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\frac{1}{16} y^{2} - 49 = x$ 。

$\frac{1}{16} y^{2} - 49 = x$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{1}{16}$ 和 $y^{2}$ 。

$\frac{y^{2}}{16} - 49 = x$

解题步骤 2.3

在等式两边都加上 $49$ 。

$\frac{y^{2}}{16} = x + 49$

解题步骤 2.4

等式两边同时乘以 $16$ 。

$16 \frac{y^{2}}{16} = 16 (x + 49)$

解题步骤 2.5

化简方程的两边。

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解题步骤 2.5.1

化简左边。

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解题步骤 2.5.1.1

约去 $16$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.1.1.1

约去公因数。

$16 \frac{y^{2}}{16} = 16 (x + 49)$

解题步骤 2.5.1.1.2

重写表达式。

$y^{2} = 16 (x + 49)$

解题步骤 2.5.2

化简右边。

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解题步骤 2.5.2.1

化简 $16 (x + 49)$ 。

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解题步骤 2.5.2.1.1

运用分配律。

$y^{2} = 16 x + 16 \cdot 49$

解题步骤 2.5.2.1.2

将 $16$ 乘以 $49$ 。

$y^{2} = 16 x + 784$

解题步骤 2.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{16 x + 784}$

解题步骤 2.7

化简 $\pm \sqrt{16 x + 784}$ 。

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解题步骤 2.7.1

从 $16 x + 784$ 中分解出因数 $16$ 。

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解题步骤 2.7.1.1

从 $16 x$ 中分解出因数 $16$ 。

$y = \pm \sqrt{16 (x) + 784}$

解题步骤 2.7.1.2

从 $784$ 中分解出因数 $16$ 。

$y = \pm \sqrt{16 x + 16 \cdot 49}$

解题步骤 2.7.1.3

从 $16 x + 16 \cdot 49$ 中分解出因数 $16$ 。

$y = \pm \sqrt{16 (x + 49)}$

解题步骤 2.7.2

将 $16 (x + 49)$ 重写为 ${(2^{2})}^{2} (x + 49)$ 。

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解题步骤 2.7.2.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{4^{2} (x + 49)}$

解题步骤 2.7.2.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x + 49)}$

解题步骤 2.7.3

从根式下提出各项。

$y = \pm 2^{2} \sqrt{x + 49}$

解题步骤 2.7.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \pm 4 \sqrt{x + 49}$

解题步骤 2.8

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.8.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = 4 \sqrt{x + 49}$

解题步骤 2.8.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - 4 \sqrt{x + 49}$

解题步骤 2.8.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = 4 \sqrt{x + 49}$

$y = - 4 \sqrt{x + 49}$

$y = 4 \sqrt{x + 49}$

$y = - 4 \sqrt{x + 49}$

$y = 4 \sqrt{x + 49}$

$y = - 4 \sqrt{x + 49}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 4 \sqrt{x + 49}, - 4 \sqrt{x + 49}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = 4 \sqrt{x + 49}, - 4 \sqrt{x + 49}$ 是否为 $f (x) = \frac{1}{16} x^{2} - 49$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = \frac{1}{16} x^{2} - 49$ 和 $f^{- 1} (x) = 4 \sqrt{x + 49}, - 4 \sqrt{x + 49}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 4.2

求 $f (x) = \frac{1}{16} x^{2} - 49$ 的值域。

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解题步骤 4.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[- 49, \infty)$

解题步骤 4.3

求 $4 \sqrt{x + 49}$ 的定义域。

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解题步骤 4.3.1

将 $\sqrt{x + 49}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x + 49 \geq 0$

解题步骤 4.3.2

从不等式两边同时减去 $49$ 。

$x \geq - 49$

解题步骤 4.3.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$[- 49, \infty)$

解题步骤 4.4

求 $f (x) = \frac{1}{16} x^{2} - 49$ 的定义域。

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解题步骤 4.4.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 4.5

由于 $f^{- 1} (x) = 4 \sqrt{x + 49}, - 4 \sqrt{x + 49}$ 的定义域为 $f (x) = \frac{1}{16} x^{2} - 49$ 的值域，而 $f^{- 1} (x) = 4 \sqrt{x + 49}, - 4 \sqrt{x + 49}$ 的值域又为 $f (x) = \frac{1}{16} x^{2} - 49$ 的定义域，因此 $f^{- 1} (x) = 4 \sqrt{x + 49}, - 4 \sqrt{x + 49}$ 为 $f (x) = \frac{1}{16} x^{2} - 49$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = 4 \sqrt{x + 49}, - 4 \sqrt{x + 49}$

解题步骤 5

三角学 示例

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