三角学示例

${(\sqrt[3]{64 x^{6}})}^{5}$

解题步骤 1

交换变量。

$x = {(\sqrt[3]{64 y^{6}})}^{5}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

化简 ${\sqrt[3]{64 y^{6}}}^{5}$ 。

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解题步骤 2.1.1

将 $64 y^{6}$ 重写为 ${(4 y^{2})}^{3}$ 。

$x = {\sqrt[3]{{(4 y^{2})}^{3}}}^{5}$

解题步骤 2.1.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$x = {(4 y^{2})}^{5}$

解题步骤 2.1.3

对 $4 y^{2}$ 运用乘积法则。

$x = 4^{5} {(y^{2})}^{5}$

解题步骤 2.1.4

对 $4$ 进行 $5$ 次方运算。

$x = 1024 {(y^{2})}^{5}$

解题步骤 2.1.5

将 ${(y^{2})}^{5}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = 1024 y^{2 \cdot 5}$

解题步骤 2.1.5.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$x = 1024 y^{10}$

解题步骤 2.2

将方程重写为 $1024 y^{10} = x$ 。

$1024 y^{10} = x$

解题步骤 2.3

将 $1024 y^{10} = x$ 中的每一项除以 $1024$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $1024 y^{10} = x$ 中的每一项都除以 $1024$ 。

$\frac{1024 y^{10}}{1024} = \frac{x}{1024}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $1024$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{1024 y^{10}}{1024} = \frac{x}{1024}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $y^{10}$ 除以 $1$ 。

$y^{10} = \frac{x}{1024}$

解题步骤 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt[10]{\frac{x}{1024}}$

解题步骤 2.5

化简 $\pm \sqrt[10]{\frac{x}{1024}}$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $\frac{x}{1024}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{10} x$ 。

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解题步骤 2.5.1.1

从 $x$ 中因式分解出完全幂数 $1^{10}$ 。

$y = \pm \sqrt[10]{\frac{1^{10} x}{1024}}$

解题步骤 2.5.1.2

从 $1024$ 中因式分解出完全幂数 $2^{10}$ 。

$y = \pm \sqrt[10]{\frac{1^{10} x}{2^{10} \cdot 1}}$

解题步骤 2.5.1.3

重新整理分数 $\frac{1^{10} x}{2^{10} \cdot 1}$ 。

$y = \pm \sqrt[10]{{(\frac{1}{2})}^{10} x}$

解题步骤 2.5.2

从根式下提出各项。

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt[10]{x}$

解题步骤 2.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt[10]{x}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt[10]{x}}{2}$

解题步骤 2.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \frac{\sqrt[10]{x}}{2}$

解题步骤 2.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \frac{\sqrt[10]{x}}{2}$

解题步骤 2.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{\sqrt[10]{x}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt[10]{x}}{2}$

$y = \frac{\sqrt[10]{x}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt[10]{x}}{2}$

$y = \frac{\sqrt[10]{x}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt[10]{x}}{2}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[10]{x}}{2}, - \frac{\sqrt[10]{x}}{2}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[10]{x}}{2}, - \frac{\sqrt[10]{x}}{2}$ 是否为 $f (x) = {(\sqrt[3]{64 x^{6}})}^{5}$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = {(\sqrt[3]{64 x^{6}})}^{5}$ 和 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[10]{x}}{2}, - \frac{\sqrt[10]{x}}{2}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 4.2

求 $\frac{\sqrt[10]{x}}{2}$ 的定义域。

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解题步骤 4.2.1

将 $\sqrt[10]{x}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x \geq 0$

解题步骤 4.2.2

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$[0, \infty)$

解题步骤 4.3

因为 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[10]{x}}{2}, - \frac{\sqrt[10]{x}}{2}$ 的定义域并不等于 $f (x) = {(\sqrt[3]{64 x^{6}})}^{5}$ 的值域，所以 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[10]{x}}{2}, - \frac{\sqrt[10]{x}}{2}$ 并非 $f (x) = {(\sqrt[3]{64 x^{6}})}^{5}$ 的反函数。

不存在反函数

解题步骤 5

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