三角学示例

$- \frac{\sqrt{1 - \cos (6 x)}}{1 + \cos (6 x)}$

解题步骤 1

交换变量。

$x = - \frac{\sqrt{1 - \cos (6 y)}}{1 + \cos (6 y)}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $- \frac{\sqrt{1 - \cos (6 y)}}{1 + \cos (6 y)} = x$ 。

$- \frac{\sqrt{1 - \cos (6 y)}}{1 + \cos (6 y)} = x$

解题步骤 2.2

交叉相乘。

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解题步骤 2.2.1

通过将右边分子和左边分母的乘积设为等于左边分子和右边分母的乘积来进行交叉相乘。

$x \cdot (1 + \cos (6 y)) = - \sqrt{1 - \cos (6 y)}$

解题步骤 2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1

化简 $x \cdot (1 + \cos (6 y))$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

运用分配律。

$x \cdot 1 + x \cos (6 y) = - \sqrt{1 - \cos (6 y)}$

解题步骤 2.2.2.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x + x \cos (6 y) = - \sqrt{1 - \cos (6 y)}$

解题步骤 2.3

将方程重写为 $- \sqrt{1 - \cos (6 y)} = x + x \cos (6 y)$ 。

$- \sqrt{1 - \cos (6 y)} = x + x \cos (6 y)$

解题步骤 2.4

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(- \sqrt{1 - \cos (6 y)})}^{2} = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

解题步骤 2.5

化简方程的两边。

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解题步骤 2.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 - \cos (6 y)}$ 重写成 ${(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(- {(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

解题步骤 2.5.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.2.1

化简 ${(- {(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.5.2.1.1

对 $- {(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{2} {({(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

解题步骤 2.5.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 {({(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

解题步骤 2.5.2.1.3

将 ${({(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 乘以 $1$ 。

${({(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

解题步骤 2.5.2.1.4

将 ${({(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.5.2.1.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

解题步骤 2.5.2.1.4.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.1.4.2.1

约去公因数。

${(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

解题步骤 2.5.2.1.4.2.2

重写表达式。

${(1 - \cos (6 y))}^{1} = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

解题步骤 2.5.2.1.5

化简。

$1 - \cos (6 y) = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

解题步骤 2.5.3

化简右边。

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解题步骤 2.5.3.1

化简 ${(x + x \cos (6 y))}^{2}$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.1

将 ${(x + x \cos (6 y))}^{2}$ 重写为 $(x + x \cos (6 y)) (x + x \cos (6 y))$ 。

$1 - \cos (6 y) = (x + x \cos (6 y)) (x + x \cos (6 y))$

解题步骤 2.5.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + x \cos (6 y)) (x + x \cos (6 y))$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.2.1

运用分配律。

$1 - \cos (6 y) = x (x + x \cos (6 y)) + x \cos (6 y) (x + x \cos (6 y))$

解题步骤 2.5.3.1.2.2

运用分配律。

$1 - \cos (6 y) = x \cdot x + x (x \cos (6 y)) + x \cos (6 y) (x + x \cos (6 y))$

解题步骤 2.5.3.1.2.3

运用分配律。

$1 - \cos (6 y) = x \cdot x + x (x \cos (6 y)) + x \cos (6 y) x + x \cos (6 y) (x \cos (6 y))$

解题步骤 2.5.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.5.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.3.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x (x \cos (6 y)) + x \cos (6 y) x + x \cos (6 y) (x \cos (6 y))$

解题步骤 2.5.3.1.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x \cdot x \cos (6 y) + x \cos (6 y) x + x \cos (6 y) (x \cos (6 y))$

解题步骤 2.5.3.1.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x \cos (6 y) x + x \cos (6 y) (x \cos (6 y))$

解题步骤 2.5.3.1.3.1.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.3.1.3.1

移动 $x$ 。

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x \cdot x \cos (6 y) + x \cos (6 y) (x \cos (6 y))$

解题步骤 2.5.3.1.3.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos (6 y) + x \cos (6 y) (x \cos (6 y))$

解题步骤 2.5.3.1.3.1.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.3.1.4.1

移动 $x$ 。

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos (6 y) + x \cdot x \cos (6 y) \cos (6 y)$

解题步骤 2.5.3.1.3.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos (6 y) \cos (6 y)$

解题步骤 2.5.3.1.3.1.5

乘以 $x^{2} \cos (6 y) \cos (6 y)$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.3.1.5.1

对 $\cos (6 y)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} (\cos^{1} (6 y) \cos (6 y))$

解题步骤 2.5.3.1.3.1.5.2

对 $\cos (6 y)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} (\cos^{1} (6 y) \cos^{1} (6 y))$

解题步骤 2.5.3.1.3.1.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} {\cos (6 y)}^{1 + 1}$

解题步骤 2.5.3.1.3.1.5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos^{2} (6 y)$

解题步骤 2.5.3.1.3.2

将 $x^{2} \cos (6 y)$ 和 $x^{2} \cos (6 y)$ 相加。

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + 2 x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos^{2} (6 y)$

解题步骤 2.6

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.6.1

代入 $u$ 替换 $\cos (6 y)$ 。

$1 - (u) = x^{2} + 2 x^{2} (u) + x^{2} {(u)}^{2}$

解题步骤 2.6.2

因为 $u$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$x^{2} + 2 x^{2} u + x^{2} u^{2} = 1 - u$

解题步骤 2.6.3

在等式两边都加上 $u$ 。

$x^{2} + 2 x^{2} u + x^{2} u^{2} + u = 1$

解题步骤 2.6.4

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x^{2} + 2 x^{2} u + x^{2} u^{2} + u - 1 = 0$

解题步骤 2.6.5

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.6.6

将 $a = x^{2}$ 、 $b = 2 x^{2} + 1$ 和 $c = x^{2} - 1$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{- (2 x^{2} + 1) \pm \sqrt{{(2 x^{2} + 1)}^{2} - 4 \cdot (x^{2} \cdot (x^{2} - 1))}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.7

化简分子。

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解题步骤 2.6.7.1

运用分配律。

$u = \frac{- (2 x^{2}) - 1 \cdot 1 \pm \sqrt{{(2 x^{2} + 1)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.7.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \cdot 1 \pm \sqrt{{(2 x^{2} + 1)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.7.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{{(2 x^{2} + 1)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.7.4

将 ${(2 x^{2} + 1)}^{2}$ 重写为 $(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1)$ 。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1) - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.7.5

使用 FOIL 方法展开 $(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1)$ 。

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解题步骤 2.6.7.5.1

运用分配律。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2} + 1) + 1 (2 x^{2} + 1) - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.7.5.2

运用分配律。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2} + 1) - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.7.5.3

运用分配律。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.7.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.6.7.6.1

化简每一项。

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解题步骤 2.6.7.6.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{2} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.7.6.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.6.7.6.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 \cdot (2 (x^{2} x^{2})) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.7.6.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{2 + 2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.7.6.1.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{4}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.7.6.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.7.6.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.7.6.1.5

将 $2 x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.7.6.1.6

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.7.6.2

将 $2 x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.7.7

运用分配律。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.7.8

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.6.7.8.1

移动 $x^{2}$ 。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 (x^{2} x^{2}) - 4 x^{2} \cdot - 1}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.7.8.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 x^{2 + 2} - 4 x^{2} \cdot - 1}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.7.8.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 x^{4} - 4 x^{2} \cdot - 1}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.7.9

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 x^{4} + 4 x^{2}}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.7.10

从 $4 x^{4}$ 中减去 $4 x^{4}$ 。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{2} + 1 + 0 + 4 x^{2}}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.7.11

将 $4 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{2} + 1 + 4 x^{2}}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.7.12

将 $4 x^{2}$ 和 $4 x^{2}$ 相加。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.8

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.6.8.1

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.8.2

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$u = \frac{- (2 x^{2}) - 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.8.3

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$u = \frac{- (2 x^{2}) - 1 \cdot 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.8.4

从 $- (2 x^{2}) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$u = \frac{- (2 x^{2} + 1) + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.8.5

从 $\sqrt{8 x^{2} + 1}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$u = \frac{- (2 x^{2} + 1) - 1 (- \sqrt{8 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.8.6

从 $- (2 x^{2} + 1) - 1 (- \sqrt{8 x^{2} + 1})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$u = \frac{- (2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.8.7

将 $- (2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1})$ 重写为 $- 1 (2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1})$ 。

$u = \frac{- 1 (2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.8.8

将负号移到分数的前面。

$u = - \frac{2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.9

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.6.9.1

化简分子。

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解题步骤 2.6.9.1.1

运用分配律。

$u = \frac{- (2 x^{2}) - 1 \cdot 1 \pm \sqrt{{(2 x^{2} + 1)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.9.1.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \cdot 1 \pm \sqrt{{(2 x^{2} + 1)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.9.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{{(2 x^{2} + 1)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.9.1.4

将 ${(2 x^{2} + 1)}^{2}$ 重写为 $(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1)$ 。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1) - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.9.1.5

使用 FOIL 方法展开 $(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1)$ 。

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解题步骤 2.6.9.1.5.1

运用分配律。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2} + 1) + 1 (2 x^{2} + 1) - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.9.1.5.2

运用分配律。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2} + 1) - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.9.1.5.3

运用分配律。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.9.1.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.6.9.1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 2.6.9.1.6.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{2} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.9.1.6.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.6.9.1.6.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 \cdot (2 (x^{2} x^{2})) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.9.1.6.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{2 + 2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.9.1.6.1.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{4}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.9.1.6.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.9.1.6.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.9.1.6.1.5

将 $2 x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.9.1.6.1.6

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.9.1.6.2

将 $2 x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.9.1.7

运用分配律。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.9.1.8

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.6.9.1.8.1

移动 $x^{2}$ 。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 (x^{2} x^{2}) - 4 x^{2} \cdot - 1}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.9.1.8.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 x^{2 + 2} - 4 x^{2} \cdot - 1}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.9.1.8.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 x^{4} - 4 x^{2} \cdot - 1}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.9.1.9

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 x^{4} + 4 x^{2}}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.9.1.10

从 $4 x^{4}$ 中减去 $4 x^{4}$ 。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{2} + 1 + 0 + 4 x^{2}}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.9.1.11

将 $4 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{2} + 1 + 4 x^{2}}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.9.1.12

将 $4 x^{2}$ 和 $4 x^{2}$ 相加。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.9.2

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.9.3

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$u = \frac{- (2 x^{2}) - 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.9.4

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$u = \frac{- (2 x^{2}) - 1 \cdot 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.9.5

从 $- (2 x^{2}) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$u = \frac{- (2 x^{2} + 1) - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.9.6

从 $- \sqrt{8 x^{2} + 1}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$u = \frac{- (2 x^{2} + 1) - (\sqrt{8 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.9.7

从 $- (2 x^{2} + 1) - (\sqrt{8 x^{2} + 1})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$u = \frac{- (2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.9.8

将 $- (2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1})$ 重写为 $- 1 (2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1})$ 。

$u = \frac{- 1 (2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.9.9

将负号移到分数的前面。

$u = - \frac{2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.10

最终答案为两个解的组合。

$u = - \frac{2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

$u = - \frac{2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.11

代入 $\cos (6 y)$ 替换 $u$ 。

$\cos (6 y) = - \frac{2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}, - \frac{2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.12

建立每一个解以求解 $y$ 。

$\cos (6 y) = - \frac{2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

$\cos (6 y) = - \frac{2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

解题步骤 2.6.13

在 $\cos (6 y) = - \frac{2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$ 中求解 $y$ 。

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解题步骤 2.6.13.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $y$ 。

$6 y = \arccos (- \frac{2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$

解题步骤 2.6.13.2

化简右边。

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解题步骤 2.6.13.2.1

化简 $\arccos (- \frac{2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$ 。

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解题步骤 2.6.13.2.1.1

分解分数 $\frac{2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$ 成为两个分数。

$6 y = \arccos (- (\frac{2 x^{2} + 1}{2 x^{2}} + \frac{- \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

解题步骤 2.6.13.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 2.6.13.2.1.2.1

分解分数 $\frac{2 x^{2} + 1}{2 x^{2}}$ 成为两个分数。

$6 y = \arccos (- (\frac{2 x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{- \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

解题步骤 2.6.13.2.1.2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.6.13.2.1.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.13.2.1.2.2.1.1

约去公因数。

$6 y = \arccos (- (\frac{2 x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{- \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

解题步骤 2.6.13.2.1.2.2.1.2

重写表达式。

$6 y = \arccos (- (\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{- \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

解题步骤 2.6.13.2.1.2.2.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.13.2.1.2.2.2.1

约去公因数。

$6 y = \arccos (- (\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{- \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

解题步骤 2.6.13.2.1.2.2.2.2

重写表达式。

$6 y = \arccos (- (1 + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{- \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

解题步骤 2.6.13.2.1.2.3

将负号移到分数的前面。

$6 y = \arccos (- (1 + \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

解题步骤 2.6.13.2.1.3

运用分配律。

$6 y = \arccos (- 1 \cdot 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$

解题步骤 2.6.13.2.1.4

化简。

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解题步骤 2.6.13.2.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$6 y = \arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$

解题步骤 2.6.13.2.1.4.2

乘以 $- - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$ 。

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解题步骤 2.6.13.2.1.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$6 y = \arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + 1 \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$

解题步骤 2.6.13.2.1.4.2.2

将 $\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$6 y = \arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$

解题步骤 2.6.13.3

将 $6 y = \arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$ 中的每一项除以 $6$ 并化简。

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解题步骤 2.6.13.3.1

将 $6 y = \arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$ 中的每一项都除以 $6$ 。

$\frac{6 y}{6} = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

解题步骤 2.6.13.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.6.13.3.2.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.13.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{6 y}{6} = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

解题步骤 2.6.13.3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

解题步骤 2.6.14

在 $\cos (6 y) = - \frac{2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$ 中求解 $y$ 。

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解题步骤 2.6.14.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $y$ 。

$6 y = \arccos (- \frac{2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$

解题步骤 2.6.14.2

化简右边。

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解题步骤 2.6.14.2.1

化简 $\arccos (- \frac{2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$ 。

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解题步骤 2.6.14.2.1.1

分解分数 $\frac{2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$ 成为两个分数。

$6 y = \arccos (- (\frac{2 x^{2} + 1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

解题步骤 2.6.14.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 2.6.14.2.1.2.1

分解分数 $\frac{2 x^{2} + 1}{2 x^{2}}$ 成为两个分数。

$6 y = \arccos (- (\frac{2 x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

解题步骤 2.6.14.2.1.2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.6.14.2.1.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.14.2.1.2.2.1.1

约去公因数。

$6 y = \arccos (- (\frac{2 x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

解题步骤 2.6.14.2.1.2.2.1.2

重写表达式。

$6 y = \arccos (- (\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

解题步骤 2.6.14.2.1.2.2.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.14.2.1.2.2.2.1

约去公因数。

$6 y = \arccos (- (\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

解题步骤 2.6.14.2.1.2.2.2.2

重写表达式。

$6 y = \arccos (- (1 + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

解题步骤 2.6.14.2.1.3

通过相乘进行化简。

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解题步骤 2.6.14.2.1.3.1

运用分配律。

$6 y = \arccos (- 1 \cdot 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$

解题步骤 2.6.14.2.1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$6 y = \arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$

解题步骤 2.6.14.3

将 $6 y = \arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$ 中的每一项除以 $6$ 并化简。

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解题步骤 2.6.14.3.1

将 $6 y = \arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$ 中的每一项都除以 $6$ 。

$\frac{6 y}{6} = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

解题步骤 2.6.14.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.6.14.3.2.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.14.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{6 y}{6} = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

解题步骤 2.6.14.3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

解题步骤 2.6.15

列出所有解。

$y = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

$y = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

$y = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

$y = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

$y = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

$y = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}, \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}, \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$ 是否为 $f (x) = - \frac{\sqrt{1 - \cos (6 x)}}{1 + \cos (6 x)}$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = - \frac{\sqrt{1 - \cos (6 x)}}{1 + \cos (6 x)}$ 和 $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}, \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 4.2

求 $\frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$ 的定义域。

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解题步骤 4.2.1

将 $\sqrt{8 x^{2} + 1}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$8 x^{2} + 1 \geq 0$

解题步骤 4.2.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

从不等式两边同时减去 $1$ 。

$8 x^{2} \geq - 1$

解题步骤 4.2.2.2

将 $8 x^{2} \geq - 1$ 中的每一项除以 $8$ 并化简。

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解题步骤 4.2.2.2.1

将 $8 x^{2} \geq - 1$ 中的每一项都除以 $8$ 。

$\frac{8 x^{2}}{8} \geq \frac{- 1}{8}$

解题步骤 4.2.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.2.2.2.1

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{8 x^{2}}{8} \geq \frac{- 1}{8}$

解题步骤 4.2.2.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} \geq \frac{- 1}{8}$

解题步骤 4.2.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x^{2} \geq - \frac{1}{8}$

解题步骤 4.2.2.3

因为左边为偶次幂，所以对所有实数都为正。

所有实数

解题步骤 4.2.3

将 $\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$ 的自变量设为大于或等于 $- 1$ ，以求使表达式有意义的区间。

$- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \geq - 1$

解题步骤 4.2.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.4.1

求解 $\sqrt{8 x^{2} + 1}$ 。

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解题步骤 4.2.4.1.1

将所有不包含 $\sqrt{8 x^{2} + 1}$ 的项移到不等式右边。

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解题步骤 4.2.4.1.1.1

在不等式两边同时加上 $1$ 。

$- \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \geq - 1 + 1$

解题步骤 4.2.4.1.1.2

在不等式两边同时加上 $\frac{1}{2 x^{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \geq - 1 + 1 + \frac{1}{2 x^{2}}$

解题步骤 4.2.4.1.1.3

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \geq 0 + \frac{1}{2 x^{2}}$

解题步骤 4.2.4.1.1.4

将 $0$ 和 $\frac{1}{2 x^{2}}$ 相加。

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \geq \frac{1}{2 x^{2}}$

解题步骤 4.2.4.1.2

因为方程两边的表达式具有相同的分母，所以分子必须相等。

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \geq 1$

解题步骤 4.2.4.2

要去掉不等式左边的根式，请对不等式两边进行立方。

${\sqrt{8 x^{2} + 1}}^{2} \geq 1^{2}$

解题步骤 4.2.4.3

化简不等式的两边。

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解题步骤 4.2.4.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{8 x^{2} + 1}$ 重写成 ${(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 1^{2}$

解题步骤 4.2.4.3.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.4.3.2.1

化简 ${({(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.4.3.2.1.1

将 ${({(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.4.3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

解题步骤 4.2.4.3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

解题步骤 4.2.4.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(8 x^{2} + 1)}^{1} \geq 1^{2}$

解题步骤 4.2.4.3.2.1.2

化简。

$8 x^{2} + 1 \geq 1^{2}$

解题步骤 4.2.4.3.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.4.3.3.1

一的任意次幂都为一。

$8 x^{2} + 1 \geq 1$

解题步骤 4.2.4.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.4.4.1

将所有不包含 $x$ 的项移到不等式右边。

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解题步骤 4.2.4.4.1.1

从不等式两边同时减去 $1$ 。

$8 x^{2} \geq 1 - 1$

解题步骤 4.2.4.4.1.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$8 x^{2} \geq 0$

解题步骤 4.2.4.4.2

将 $8 x^{2} \geq 0$ 中的每一项除以 $8$ 并化简。

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解题步骤 4.2.4.4.2.1

将 $8 x^{2} \geq 0$ 中的每一项都除以 $8$ 。

$\frac{8 x^{2}}{8} \geq \frac{0}{8}$

解题步骤 4.2.4.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.4.4.2.2.1

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{8 x^{2}}{8} \geq \frac{0}{8}$

解题步骤 4.2.4.4.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} \geq \frac{0}{8}$

解题步骤 4.2.4.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.4.4.2.3.1

用 $0$ 除以 $8$ 。

$x^{2} \geq 0$

解题步骤 4.2.4.4.3

因为左边为偶次幂，所以对所有实数都为正。

所有实数

解题步骤 4.2.5

将 $\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$ 的自变量设为小于或等于 $1$ ，以求使表达式有意义的区间。

$- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \leq 1$

解题步骤 4.2.6

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.6.1

求解 $\sqrt{8 x^{2} + 1}$ 。

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解题步骤 4.2.6.1.1

将所有不包含 $\sqrt{8 x^{2} + 1}$ 的项移到不等式右边。

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解题步骤 4.2.6.1.1.1

在不等式两边同时加上 $1$ 。

$- \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \leq 1 + 1$

解题步骤 4.2.6.1.1.2

在不等式两边同时加上 $\frac{1}{2 x^{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \leq 1 + 1 + \frac{1}{2 x^{2}}$

解题步骤 4.2.6.1.1.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \leq 2 + \frac{1}{2 x^{2}}$

解题步骤 4.2.6.1.2

两边同时乘以 $2 x^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} (2 x^{2}) \leq (2 + \frac{1}{2 x^{2}}) (2 x^{2})$

解题步骤 4.2.6.1.3

化简。

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解题步骤 4.2.6.1.3.1

化简左边。

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解题步骤 4.2.6.1.3.1.1

化简 $\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} (2 x^{2})$ 。

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解题步骤 4.2.6.1.3.1.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} x^{2} \leq (2 + \frac{1}{2 x^{2}}) (2 x^{2})$

解题步骤 4.2.6.1.3.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.6.1.3.1.1.2.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 (x^{2})} x^{2} \leq (2 + \frac{1}{2 x^{2}}) (2 x^{2})$

解题步骤 4.2.6.1.3.1.1.2.2

约去公因数。

$2 \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} x^{2} \leq (2 + \frac{1}{2 x^{2}}) (2 x^{2})$

解题步骤 4.2.6.1.3.1.1.2.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{x^{2}} x^{2} \leq (2 + \frac{1}{2 x^{2}}) (2 x^{2})$

解题步骤 4.2.6.1.3.1.1.3

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.6.1.3.1.1.3.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{x^{2}} x^{2} \leq (2 + \frac{1}{2 x^{2}}) (2 x^{2})$

解题步骤 4.2.6.1.3.1.1.3.2

重写表达式。

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq (2 + \frac{1}{2 x^{2}}) (2 x^{2})$

解题步骤 4.2.6.1.3.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.6.1.3.2.1

化简 $(2 + \frac{1}{2 x^{2}}) (2 x^{2})$ 。

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解题步骤 4.2.6.1.3.2.1.1

通过相乘进行化简。

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解题步骤 4.2.6.1.3.2.1.1.1

运用分配律。

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq 2 (2 x^{2}) + \frac{1}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

解题步骤 4.2.6.1.3.2.1.1.2

化简表达式。

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解题步骤 4.2.6.1.3.2.1.1.2.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq 4 x^{2} + \frac{1}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

解题步骤 4.2.6.1.3.2.1.1.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq 4 x^{2} + 2 \frac{1}{2 x^{2}} x^{2}$

解题步骤 4.2.6.1.3.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.6.1.3.2.1.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.6.1.3.2.1.2.1.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq 4 x^{2} + 2 \frac{1}{2 (x^{2})} x^{2}$

解题步骤 4.2.6.1.3.2.1.2.1.2

约去公因数。

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq 4 x^{2} + 2 \frac{1}{2 x^{2}} x^{2}$

解题步骤 4.2.6.1.3.2.1.2.1.3

重写表达式。

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq 4 x^{2} + \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

解题步骤 4.2.6.1.3.2.1.2.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.6.1.3.2.1.2.2.1

约去公因数。

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq 4 x^{2} + \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

解题步骤 4.2.6.1.3.2.1.2.2.2

重写表达式。

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq 4 x^{2} + 1$

解题步骤 4.2.6.2

要去掉不等式左边的根式，请对不等式两边进行立方。

${\sqrt{8 x^{2} + 1}}^{2} \leq {(4 x^{2} + 1)}^{2}$

解题步骤 4.2.6.3

化简不等式的两边。

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解题步骤 4.2.6.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{8 x^{2} + 1}$ 重写成 ${(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 x^{2} + 1)}^{2}$

解题步骤 4.2.6.3.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.6.3.2.1

化简 ${({(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.6.3.2.1.1

将 ${({(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.6.3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 x^{2} + 1)}^{2}$

解题步骤 4.2.6.3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.6.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 x^{2} + 1)}^{2}$

解题步骤 4.2.6.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(8 x^{2} + 1)}^{1} \leq {(4 x^{2} + 1)}^{2}$

解题步骤 4.2.6.3.2.1.2

化简。

$8 x^{2} + 1 \leq {(4 x^{2} + 1)}^{2}$

解题步骤 4.2.6.3.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.6.3.3.1

化简 ${(4 x^{2} + 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.6.3.3.1.1

将 ${(4 x^{2} + 1)}^{2}$ 重写为 $(4 x^{2} + 1) (4 x^{2} + 1)$ 。

$8 x^{2} + 1 \leq (4 x^{2} + 1) (4 x^{2} + 1)$

解题步骤 4.2.6.3.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(4 x^{2} + 1) (4 x^{2} + 1)$ 。

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解题步骤 4.2.6.3.3.1.2.1

运用分配律。

$8 x^{2} + 1 \leq 4 x^{2} (4 x^{2} + 1) + 1 (4 x^{2} + 1)$

解题步骤 4.2.6.3.3.1.2.2

运用分配律。

$8 x^{2} + 1 \leq 4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (4 x^{2} + 1)$

解题步骤 4.2.6.3.3.1.2.3

运用分配律。

$8 x^{2} + 1 \leq 4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 1 \cdot 1$

解题步骤 4.2.6.3.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.6.3.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.6.3.3.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$8 x^{2} + 1 \leq 4 \cdot 4 x^{2} x^{2} + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 1 \cdot 1$

解题步骤 4.2.6.3.3.1.3.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.6.3.3.1.3.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$8 x^{2} + 1 \leq 4 \cdot 4 (x^{2} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 1 \cdot 1$

解题步骤 4.2.6.3.3.1.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 x^{2} + 1 \leq 4 \cdot 4 x^{2 + 2} + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 1 \cdot 1$

解题步骤 4.2.6.3.3.1.3.1.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$8 x^{2} + 1 \leq 4 \cdot 4 x^{4} + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 1 \cdot 1$

解题步骤 4.2.6.3.3.1.3.1.3

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$8 x^{2} + 1 \leq 16 x^{4} + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 1 \cdot 1$

解题步骤 4.2.6.3.3.1.3.1.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$8 x^{2} + 1 \leq 16 x^{4} + 4 x^{2} + 1 (4 x^{2}) + 1 \cdot 1$

解题步骤 4.2.6.3.3.1.3.1.5

将 $4 x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$8 x^{2} + 1 \leq 16 x^{4} + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 1 \cdot 1$

解题步骤 4.2.6.3.3.1.3.1.6

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$8 x^{2} + 1 \leq 16 x^{4} + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 1$

解题步骤 4.2.6.3.3.1.3.2

将 $4 x^{2}$ 和 $4 x^{2}$ 相加。

$8 x^{2} + 1 \leq 16 x^{4} + 8 x^{2} + 1$

解题步骤 4.2.6.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.6.4.1

重写为 $x$ 在不等式左边的形式。

$16 x^{4} + 8 x^{2} + 1 \geq 8 x^{2} + 1$

解题步骤 4.2.6.4.2

将所有包含 $x$ 的项移到不等式左边。

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解题步骤 4.2.6.4.2.1

从不等式两边同时减去 $8 x^{2}$ 。

$16 x^{4} + 8 x^{2} + 1 - 8 x^{2} \geq 1$

解题步骤 4.2.6.4.2.2

合并 $16 x^{4} + 8 x^{2} + 1 - 8 x^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.6.4.2.2.1

从 $8 x^{2}$ 中减去 $8 x^{2}$ 。

$16 x^{4} + 0 + 1 \geq 1$

解题步骤 4.2.6.4.2.2.2

将 $16 x^{4}$ 和 $0$ 相加。

$16 x^{4} + 1 \geq 1$

解题步骤 4.2.6.4.3

将所有不包含 $x$ 的项移到不等式右边。

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解题步骤 4.2.6.4.3.1

从不等式两边同时减去 $1$ 。

$16 x^{4} \geq 1 - 1$

解题步骤 4.2.6.4.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$16 x^{4} \geq 0$

解题步骤 4.2.6.4.4

将 $16 x^{4} \geq 0$ 中的每一项除以 $16$ 并化简。

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解题步骤 4.2.6.4.4.1

将 $16 x^{4} \geq 0$ 中的每一项都除以 $16$ 。

$\frac{16 x^{4}}{16} \geq \frac{0}{16}$

解题步骤 4.2.6.4.4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.6.4.4.2.1

约去 $16$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.6.4.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{16 x^{4}}{16} \geq \frac{0}{16}$

解题步骤 4.2.6.4.4.2.1.2

用 $x^{4}$ 除以 $1$ 。

$x^{4} \geq \frac{0}{16}$

解题步骤 4.2.6.4.4.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.6.4.4.3.1

用 $0$ 除以 $16$ 。

$x^{4} \geq 0$

解题步骤 4.2.6.4.5

因为左边为偶次幂，所以对所有实数都为正。

所有实数

解题步骤 4.2.7

将 $\frac{1}{2 x^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$2 x^{2} = 0$

解题步骤 4.2.8

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.8.1

将 $2 x^{2} = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 4.2.8.1.1

将 $2 x^{2} = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 4.2.8.1.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.8.1.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.8.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 4.2.8.1.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 4.2.8.1.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.8.1.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 4.2.8.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 4.2.8.3

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 4.2.8.3.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 4.2.8.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 4.2.8.3.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 4.2.9

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 4.3

因为 $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}, \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$ 的定义域并不等于 $f (x) = - \frac{\sqrt{1 - \cos (6 x)}}{1 + \cos (6 x)}$ 的值域，所以 $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}, \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$ 并非 $f (x) = - \frac{\sqrt{1 - \cos (6 x)}}{1 + \cos (6 x)}$ 的反函数。

不存在反函数

解题步骤 5

三角学 示例

三角学示例