三角学示例

$\frac{6 x}{x + 5}$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \frac{6 y}{y + 5}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\frac{6 y}{y + 5} = x$ 。

$\frac{6 y}{y + 5} = x$

解题步骤 2.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$y + 5, 1$

解题步骤 2.2.2

去掉圆括号。

$y + 5, 1$

解题步骤 2.2.3

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$y + 5$

解题步骤 2.3

将 $\frac{6 y}{y + 5} = x$ 中的每一项乘以 $y + 5$ 以消去分数。

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解题步骤 2.3.1

将 $\frac{6 y}{y + 5} = x$ 中的每一项乘以 $y + 5$ 。

$\frac{6 y}{y + 5} (y + 5) = x (y + 5)$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $y + 5$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{6 y}{y + 5} (y + 5) = x (y + 5)$

解题步骤 2.3.2.1.2

重写表达式。

$6 y = x (y + 5)$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

运用分配律。

$6 y = x y + x \cdot 5$

解题步骤 2.3.3.2

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$6 y = x y + 5 x$

解题步骤 2.4

求解方程。

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解题步骤 2.4.1

从等式两边同时减去 $x y$ 。

$6 y - x y = 5 x$

解题步骤 2.4.2

从 $6 y - x y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

从 $6 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \cdot 6 - x y = 5 x$

解题步骤 2.4.2.2

从 $- x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \cdot 6 + y (- x) = 5 x$

解题步骤 2.4.2.3

从 $y \cdot 6 + y (- x)$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (6 - x) = 5 x$

解题步骤 2.4.3

将 $y (6 - x) = 5 x$ 中的每一项除以 $6 - x$ 并化简。

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解题步骤 2.4.3.1

将 $y (6 - x) = 5 x$ 中的每一项都除以 $6 - x$ 。

$\frac{y (6 - x)}{6 - x} = \frac{5 x}{6 - x}$

解题步骤 2.4.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.3.2.1

约去 $6 - x$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y (6 - x)}{6 - x} = \frac{5 x}{6 - x}$

解题步骤 2.4.3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{5 x}{6 - x}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{6 - x}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{6 - x}$ 是否为 $f (x) = \frac{6 x}{x + 5}$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{6 x}{x + 5})$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{x + 5}) = \frac{5 (\frac{6 x}{x + 5})}{6 - (\frac{6 x}{x + 5})}$

解题步骤 4.2.3

组合 $5$ 和 $\frac{6 x}{x + 5}$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{x + 5}}{6 - \frac{6 x}{x + 5}}$

解题步骤 4.2.4

化简分母。

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解题步骤 4.2.4.1

要将 $6$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 5}{x + 5}$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{x + 5}}{\frac{6 (x + 5)}{x + 5} - \frac{6 x}{x + 5}}$

解题步骤 4.2.4.2

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{x + 5}}{\frac{6 (x + 5) - 6 x}{x + 5}}$

解题步骤 4.2.4.3

重新排序项。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{x + 5}}{\frac{- 6 x + 6 (x + 5)}{x + 5}}$

解题步骤 4.2.4.4

以因式分解的形式重写 $\frac{- 6 x + 6 (x + 5)}{x + 5}$ 。

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解题步骤 4.2.4.4.1

从 $- 6 x + 6 (x + 5)$ 中分解出因数 $6$ 。

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解题步骤 4.2.4.4.1.1

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $6$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{x + 5}}{\frac{6 (- x) + 6 (x + 5)}{x + 5}}$

解题步骤 4.2.4.4.1.2

从 $6 (- x) + 6 (x + 5)$ 中分解出因数 $6$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{x + 5}}{\frac{6 (- x + x + 5)}{x + 5}}$

解题步骤 4.2.4.4.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{x + 5}}{\frac{6 (0 + 5)}{x + 5}}$

解题步骤 4.2.4.4.3

将 $0$ 和 $5$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{x + 5}}{\frac{6 \cdot 5}{x + 5}}$

解题步骤 4.2.4.5

将 $6$ 乘以 $5$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{x + 5}}{\frac{30}{x + 5}}$

解题步骤 4.2.5

将 $5$ 乘以 $6$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{x + 5}) = \frac{\frac{30 x}{x + 5}}{\frac{30}{x + 5}}$

解题步骤 4.2.6

将分子乘以分母的倒数。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{x + 5}) = \frac{30 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{30}$

解题步骤 4.2.7

约去 $30$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.7.1

从 $30 x$ 中分解出因数 $30$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{x + 5}) = \frac{30 (x)}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{30}$

解题步骤 4.2.7.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{x + 5}) = \frac{30 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{30}$

解题步骤 4.2.7.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{x + 5}) = \frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5)$

解题步骤 4.2.8

约去 $x + 5$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.8.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{x + 5}) = \frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5)$

解题步骤 4.2.8.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{x + 5}) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{5 x}{6 - x})$ 。

$f (\frac{5 x}{6 - x}) = \frac{6 (\frac{5 x}{6 - x})}{(\frac{5 x}{6 - x}) + 5}$

解题步骤 4.3.3

组合 $6$ 和 $\frac{5 x}{6 - x}$ 。

$f (\frac{5 x}{6 - x}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{6 - x}}{\frac{5 x}{6 - x} + 5}$

解题步骤 4.3.4

化简分母。

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解题步骤 4.3.4.1

要将 $5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6 - x}{6 - x}$ 。

$f (\frac{5 x}{6 - x}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{6 - x}}{\frac{5 x}{6 - x} + \frac{5 (6 - x)}{6 - x}}$

解题步骤 4.3.4.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{5 x}{6 - x}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{6 - x}}{\frac{5 x + 5 (6 - x)}{6 - x}}$

解题步骤 4.3.4.3

重新排序项。

$f (\frac{5 x}{6 - x}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{6 - x}}{\frac{5 x + 5 (6 - x)}{- x + 6}}$

解题步骤 4.3.4.4

以因式分解的形式重写 $\frac{5 x + 5 (6 - x)}{- x + 6}$ 。

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解题步骤 4.3.4.4.1

从 $5 x + 5 (6 - x)$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 4.3.4.4.1.1

从 $5 x$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (\frac{5 x}{6 - x}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{6 - x}}{\frac{5 (x) + 5 (6 - x)}{- x + 6}}$

解题步骤 4.3.4.4.1.2

从 $5 (x) + 5 (6 - x)$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (\frac{5 x}{6 - x}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{6 - x}}{\frac{5 (x + 6 - x)}{- x + 6}}$

解题步骤 4.3.4.4.2

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$f (\frac{5 x}{6 - x}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{6 - x}}{\frac{5 (0 + 6)}{- x + 6}}$

解题步骤 4.3.4.4.3

将 $0$ 和 $6$ 相加。

$f (\frac{5 x}{6 - x}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{6 - x}}{\frac{5 \cdot 6}{- x + 6}}$

解题步骤 4.3.4.5

将 $5$ 乘以 $6$ 。

$f (\frac{5 x}{6 - x}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{6 - x}}{\frac{30}{- x + 6}}$

解题步骤 4.3.5

将 $6$ 乘以 $5$ 。

$f (\frac{5 x}{6 - x}) = \frac{\frac{30 x}{6 - x}}{\frac{30}{- x + 6}}$

解题步骤 4.3.6

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{5 x}{6 - x}) = \frac{30 x}{6 - x} \cdot \frac{- x + 6}{30}$

解题步骤 4.3.7

约去 $30$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.7.1

从 $30 x$ 中分解出因数 $30$ 。

$f (\frac{5 x}{6 - x}) = \frac{30 (x)}{6 - x} \cdot \frac{- x + 6}{30}$

解题步骤 4.3.7.2

约去公因数。

$f (\frac{5 x}{6 - x}) = \frac{30 x}{6 - x} \cdot \frac{- x + 6}{30}$

解题步骤 4.3.7.3

重写表达式。

$f (\frac{5 x}{6 - x}) = \frac{x}{6 - x} \cdot (- x + 6)$

解题步骤 4.3.8

将 $\frac{x}{6 - x}$ 乘以 $- x + 6$ 。

$f (\frac{5 x}{6 - x}) = \frac{x (- x + 6)}{6 - x}$

解题步骤 4.3.9

约去 $- x + 6$ 和 $6 - x$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.9.1

重新排序项。

$f (\frac{5 x}{6 - x}) = \frac{x (- x + 6)}{- x + 6}$

解题步骤 4.3.9.2

约去公因数。

$f (\frac{5 x}{6 - x}) = \frac{x (- x + 6)}{- x + 6}$

解题步骤 4.3.9.3

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{5 x}{6 - x}) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{6 - x}$ 为 $f (x) = \frac{6 x}{x + 5}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{6 - x}$

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