三角学示例

$45^{y}$

解题步骤 1

将方程重写为 $45^{y} = x$ 。

$45^{y} = x$

解题步骤 2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (45^{y}) = \ln (x)$

解题步骤 3

通过将 $y$ 移到对数外来展开 $\ln (45^{y})$ 。

$y \ln (45) = \ln (x)$

解题步骤 4

将 $y \ln (45) = \ln (x)$ 中的每一项除以 $\ln (45)$ 并化简。

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解题步骤 4.1

将 $y \ln (45) = \ln (x)$ 中的每一项都除以 $\ln (45)$ 。

$\frac{y \ln (45)}{\ln (45)} = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

约去 $\ln (45)$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y \ln (45)}{\ln (45)} = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$

解题步骤 5

交换变量。

$x = \frac{\ln (y)}{\ln (45)}$

解题步骤 6

求解 $y$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $\frac{\ln (y)}{\ln (45)} = x$ 。

$\frac{\ln (y)}{\ln (45)} = x$

解题步骤 6.2

等式两边同时乘以 $\ln (45)$ 。

$\ln (45) \frac{\ln (y)}{\ln (45)} = \ln (45) x$

解题步骤 6.3

化简方程的两边。

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解题步骤 6.3.1

化简左边。

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解题步骤 6.3.1.1

约去 $\ln (45)$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1.1.1

约去公因数。

$\ln (45) \frac{\ln (y)}{\ln (45)} = \ln (45) x$

解题步骤 6.3.1.1.2

重写表达式。

$\ln (y) = \ln (45) x$

解题步骤 6.3.2

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.1

将 $\ln (45) x$ 中的因式重新排序。

$\ln (y) = x \ln (45)$

解题步骤 6.4

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (y)} = e^{x \ln (45)}$

解题步骤 6.5

使用对数的定义将 $\ln (y) = x \ln (45)$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{x \ln (45)} = y$

解题步骤 6.6

将方程重写为 $y = e^{x \ln (45)}$ 。

$y = e^{x \ln (45)}$

解题步骤 7

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = e^{x \ln (45)}$

解题步骤 8

验证 $f^{- 1} (x) = e^{x \ln (45)}$ 是否为 $f (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$ 的反函数。

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解题步骤 8.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 8.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 8.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 8.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)})$ 。

$f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) = e^{(\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) \ln (45)}$

解题步骤 8.2.3

约去 $\ln (45)$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) = e^{\frac{\ln (x)}{\ln (45)} \cdot \ln (45)}$

解题步骤 8.2.3.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) = e^{\ln (x)}$

解题步骤 8.2.4

指数函数和对数函数互为反函数。

$f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) = x$

解题步骤 8.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 8.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 8.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (e^{x \ln (45)})$ 。

$f (e^{x \ln (45)}) = \frac{\ln (e^{x \ln (45)})}{\ln (45)}$

解题步骤 8.3.3

通过将 $x \ln (45)$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x \ln (45)})$ 。

$f (e^{x \ln (45)}) = \frac{x \ln (45) \ln (e)}{\ln (45)}$

解题步骤 8.3.4

约去 $\ln (45)$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.4.1

约去公因数。

$f (e^{x \ln (45)}) = \frac{x \ln (45) \ln (e)}{\ln (45)}$

解题步骤 8.3.4.2

用 $x \ln (e)$ 除以 $1$ 。

$f (e^{x \ln (45)}) = x \ln (e)$

解题步骤 8.3.5

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$f (e^{x \ln (45)}) = x \cdot 1$

解题步骤 8.3.6

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (e^{x \ln (45)}) = x$

解题步骤 8.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = e^{x \ln (45)}$ 为 $f (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = e^{x \ln (45)}$

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